نشان دهید که یک پایه ${A,B}$ از $R^2$ موجود است به طوری که $L(A)=B , L(B)=0$

Question

سلام وقت بخیر فرض کنید $L:R^2 \mapsto R^2$ یک نگاشت باشد به طوری که $0 \neq L$ مخالف صفر ولی $L^2=0$ نشان دهید که یک پایه ${A,B}$ از $R^2$ موجود است به طوری که $L(A)=B , L(B)=0$

Comments

@Z.H.A عنوان پست را درست کنید. به دیدگاهی که در زیر پست دیگرتان گذاشته شده نگاه کنید.

Answer 1

فرض کنید:

$L(x,y)= (ax+by,a'x+b'y)$

با یک محاسبه ساده و به کمک ضرب ماتریس ها متوجه می شویم که:

$L(x,y)=(by,0)$ یا $L(x,y)=(0,a'x)$

که در آن $b,a' \neq 0$.

در حالت اول پایه را $[(1,0),(0, \frac{1}{b} )]$ و در حالت دوم پایه را $[( \frac{1}{a'} ,0),(0,1)] $بگیرید.

$ \Box $