دایره های مماس بر دایره

Question

میدانیم به یک دایره همزمان میتوان ۶ دایره هم شعاع آن مماس کرد...حال اگر شعاع دایره های اطراف تغییر کند چه اتفاقی در تعداد انها خواهد افتاد؟به عنوان مثال اگر شعاع دایره های اطراف نصف شعاع دایره مرکزی شود میتوان گفت که تعداد آنها ۱۲ خواهد شد؟چرا؟

Comments

@Mommad1385 عنوان پرسش را کلی ننویسید. عنوان پرسش‌تان باید آن را از هر پرسش دیگری متمایز کند و خود سوال اصلی را تقریبا برساند. برای نمونه به جای عنوانی که نوشتید «دایره‌های مماس بر دایره» می‌توانستید بنویسید «چه رابطه‌ای بین شعاع دایره‌های محیطی بر یک دایرهٔ دیگر و تعدادشان وجود دارد با فرض اینکه یکدیگر را قطع نکنند؟» بعلاوه در متن پست، پس از اینکه پرسش را نوشتید، به فکر، تلاش یا ابهام خود نیز *باید* اشاره کنید!

---

سپاسگزارم بخاطر تذکرتان

---

@Mommad_1385 اگر متوجه چیزی که در دیدگاه گفته‌شده‌است شده‌اید، بر روی علامت مداد زیر سمت چپ پرسش‌تان کلیک کنید و ویرایش اشاره شده را انجام دهید.

Answer 1

دایره ای به شعاع دلخواه $a$ و مرکز $O$ در نظر بگیرید و آن را $S$ بنامید.نشان می دهیم که اگر $n$ عددی طبیعی و بزرگتر از $2$ باشد می توان در خارج دایره مفروض $S$، $n$ دایره به شعاع یکسان را بر این دایره مماس کرد:

اگر دو دایره به شعاع یکسان $b$ و به مرکزهای $A$ و $B$ برهم مماس و بر دایرۀ $S$ مماس باشند (این کار امکان پذیر است ) و $P$ نقطه مماس دودایره به شعاع $b$ باشد، چون هموار مماس بر شعاع گذرنده از نقطه مماس عمود است آنگاه داریم:

$Cos( \angle OAB)= \frac{b}{a+b} $

حالا این مقدار $b$ را طوری انتخاب می کنیم که اگر دایره های بیرونی $n$ تا شود دو تا دو تا بر همدیگر و بر $S$ مماس باشند.اگر شکل را بتوانید مجسم کنید مراکز دایره ها تشکیل یک $n$ ضلعی منتظم می دهند و از خواص این شکل داریم:

$ \angle AOB= \frac{2 \pi }{n } , \angle OAB= \frac{ \pi }{2} - \frac{ \pi }{n} \Rightarrow Sin\frac{ \pi }{n} = \frac{b}{a+b} \Rightarrow b= \frac{aSin\frac{ \pi }{n}}{1-Sin\frac{ \pi }{n}} $

بنابر این با انتخاب این مقدار $b$ می توان $n$ دایره یکسان را بر دایرۀ $S$ مماس کرد که خود دو به دو هم مماس باشند.از مقدار $b$ مشخص است که مخرج کسر نباید صفر باشد چون در غیر این صورت $n=2$ که امکان ندارد دو دایره اطراف یک دایره را با شرط مماس بودن بگیرند.و اگر $n=1$ آنگاه $b=0$ که با مثبت بودن $b$ در تناقض است.و اگر $b=a$ واضح است که $n=6$.به کمک حد واضح است که هر چه $n$ بزرگتر شود، $b$ کوچک می شود.

$ \Box $

Comments

به،درود بر شما آقای شبرنگ...زیبا بود
من قبلا هم سوالی شبیه این(در باب کره ها) پرسیده بودم و جواب دادید(فایلی فرستادید که متاسفانه در حد سواد بنده نبود)  تشکر میکنم که سوالات را پاسخ میدهید

---

@Mommad_1385 اگر پاسخی که برایتان گذاشته‌اند درست است و متوجه شدید، بر روی علامت تیک سمت راست پاسخ کلیک کنید تا پاسخ تأیید شود، در غیر اینصورت در دیدگاه جایی را که متوجه نشدید بپرسید تا توضیح بیشتر داده‌شود. اگر هم می‌خواهید تشکر کنید بر روی سه‌گوش رو به بالای سمت راست پاسخ کلیک کنید تا امتیاز داده شود.