سه دایره مماس بر هم

Question

سه دایره با شعاع های ۱و۲و۳ موجودند و بریکدیگر مماسند دایره ای درون انها مماس بر سه دایره می کشیم ثابت کنید شعاع این دایره $\frac{6}{23}$ است.

Comments

3 مرکز دایره های بزرگ رو بهم وصل کن . مساحت مثلثو حساب کن منهای 3 قطاع از دایره ها کن . مساحت قسمت بین 3 دایره بزرگ بدست میاد . حالا مساحت بین 3 دایره A ,B,D  ، A,C,D و B,C,D رو حساب کن . و مساحت اولی رو منهای مجموع این 3 تا کن . اگه متوجه نشدی بگو دقیق توضیح بدم . خودم حساب نکردم ولی فکر کنم بدست بیاد .

---

اخه چه جور مساحت قطاع ها رو حساب کنم؟زاویه ها رو باید به دست اورد که عدد خاصی نمی ایند و اعشاری هستند.

---

آره درسته ولی فکر میکنم راهی مثل همین داشته باشه .

---

https://fa.wikipedia.org/wiki/%D9%82%D8%B6%DB%8C%D9%87_%D8%AF%DA%A9%D8%A7%D8%B1%D8%AA

Answer 1

راهنمایی

در برنامه سخرانی پژوهشکده دانشهای بنیادی موضوع صحبت مارک پولی کات با قضیه ای شروع می شد که مساله شما را پوشش می دهد. نت

قضیه دکارتس: اگر دایره مفروض با شعاع های $r_1,r_2,r_3,r_4$ که $r_4$ شعاع دایره مرکزی است در این صورت داریم

$$( k_1 + k_2 + k_3 + k_4 )^2 = 2 ( k_1^2 + k_2^2 + k_3^2 + k_4^2 ) \qquad\text{که } k_i := \pm\frac{1}{r_i}$$

که بنده دو اثبات برای مساله شما می شناسم که اثبات ساده تری برای این مساله در سال 2011 مطرح شده است اثبات و اثبات مقدماتی وجود دارد که رجوع کنید به اثبات