دایره ای به شعاع دلخواه $a$ و مرکز $O$ در نظر بگیرید و آن را $S$ بنامید.نشان می دهیم که اگر $n$ عددی طبیعی و بزرگتر از $2$ باشد می توان در خارج دایره مفروض $S$، $n$ دایره به شعاع یکسان را بر این دایره مماس کرد:
اگر دو دایره به شعاع یکسان $b$ و به مرکزهای $A$ و $B$ برهم مماس و بر دایرۀ $S$ مماس باشند (این کار امکان پذیر است ) و $P$ نقطه مماس دودایره به شعاع $b$ باشد، چون هموار مماس بر شعاع گذرنده از نقطه مماس عمود است آنگاه داریم:
$Cos( \angle OAB)= \frac{b}{a+b} $
حالا این مقدار $b$ را طوری انتخاب می کنیم که اگر دایره های بیرونی $n$ تا شود دو تا دو تا بر همدیگر و بر $S$ مماس باشند.اگر شکل را بتوانید مجسم کنید مراکز دایره ها تشکیل یک $n$ ضلعی منتظم می دهند و از خواص این شکل داریم:
$ \angle AOB= \frac{2 \pi }{n } , \angle OAB= \frac{ \pi }{2} - \frac{ \pi }{n} \Rightarrow Sin\frac{ \pi }{n} = \frac{b}{a+b} \Rightarrow b= \frac{aSin\frac{ \pi }{n}}{1-Sin\frac{ \pi }{n}} $
بنابر این با انتخاب این مقدار $b$ می توان $n$ دایره یکسان را بر دایرۀ $S$ مماس کرد که خود دو به دو هم مماس باشند.از مقدار $b$ مشخص است که مخرج کسر نباید صفر باشد چون در غیر این صورت $n=2$ که امکان ندارد دو دایره اطراف یک دایره را با شرط مماس بودن بگیرند.و اگر $n=1$ آنگاه $b=0$ که با مثبت بودن $b$ در تناقض است.و اگر $b=a$ واضح است که $n=6$.به کمک حد واضح است که هر چه $n$ بزرگتر شود، $b$ کوچک می شود.
$ \Box $
