دنباله بنا به توضیحاتتان چنین است:
$2,7,1,4,4,1,6,6,3,6,....$
در این دنباله عدد $0$ و $5$ ظاهر نمی شود.
اگر اول مکان ظاهر شدن $5$ یا $0$ را در نظر بگیرید با توجه به ساختار $5$ و $0$ و $0 \times a=a \times 0=0$ و اگر هر عددی در $5$ ضرب شود یکانش $0$ یا $5$ است و بررسی دو حالت که اول $0$ ظاهر شود یا $5$ اثبات تمام است.(من جزئیات را نیاوردم)
با برهان خلف فرض کنید که تعداد $6$ ها در این دنباله متناهی است و آخرین آنها در مکان $m$ باشد:
$2,7,1,4,4,1,6,6,3,6,....,(a_m=6),...$
حالا توجه کنید که جملۀ $m-1$ چند حالت دارد که اگر در هر حالت دنباله را از جمله $a_{m-1}$ در نظر داشته باشیم داریم:
$1,6,6,... \bot $
$2,6,1,2,2,4,8,3,2,6,... \bot $
$3,6,1,8,8,6,4,... \bot $
$4,6,2,4,8,3,2,6,... \bot $
$6,6,3,6,1,8,8,6,4,... \bot $
$7,6,4,2,8,1,6,... \bot $
$8,6,4,8,3,2,6,... \bot $
$9,6,5,4,... \bot $
$ \Box $
