نقاط مورد نظر را ریشه های واح یک در نظر میگیریم و متناظر با اندیسها قرار میدهیم:
$z_k=e^{ \frac{2k \pi i}{5}},k=0,1,2,3,4$
واضح است که:
$A_0A_1^2=|z_1-z_0|^2=(z_1-z_0) \overline{(z_1-z_0)}=(z_1-z_0)( \overline{z_1} - \overline{z_0} )=(e^{ \frac{2\pi i}{5}}-1)(e^{ \frac{-2 \pi i}{5}}-1)$
$2-e^{ \frac{2 \pi i}{5} }-e^{ \frac{-2 \pi i}{5}}$
و به همین ترتیب:
$A_0A_2^2=(e^{ \frac{4\pi i}{5}}-1)(e^{ \frac{-4\pi i}{5}}-1)=2-e^{ \frac{4 \pi i}{5} }-e^{ \frac{-4 \pi i}{5}}$
$ \Rightarrow (A_0A_1.A_0A_2)^2=A_0A_1^2A_0A_2^2=(2-e^{ \frac{2 \pi i}{5} }-e^{ \frac{-2 \pi i}{5}})(2-e^{ \frac{4 \pi i}{5} }-e^{ \frac{-4 \pi i}{5}})$
$=4-2e^{ \frac{4 \pi i}{5} }-2e^{ \frac{-4 \pi i}{5} }-2e^{ \frac{2 \pi i}{5} }+e^{ \frac{6 \pi i}{5} }+e^{ \frac{-2 \pi i}{5} }-2e^{ \frac{-2 \pi i}{5} }+e^{ \frac{2 \pi i}{5} }+e^{ \frac{6 \pi i}{5} }$
$=4-2e^{ \frac{4 \pi i}{5} }-2e^{ \frac{-4 \pi i}{5} }-e^{ \frac{2 \pi i}{5} }-e^{ \frac{-2 \pi i}{5} }+e^{ \frac{6 \pi i}{5} }+e^{ \frac{-6 \pi i}{5} }$
$=4-2e^{ \frac{4 \pi i}{5} }-2e^{ \frac{-4 \pi i}{5} }-e^{ \frac{2 \pi i}{5} }-e^{ \frac{-2 \pi i}{5} }+e^{ \frac{6 \pi i}{5} -2 \pi i}+e^{ \frac{-6 \pi i}{5}+2 \pi i }$
$=4-2e^{ \frac{4 \pi i}{5} }-2e^{ \frac{-4 \pi i}{5} }-e^{ \frac{2 \pi i}{5} }-e^{ \frac{-2 \pi i}{5} }+e^{ \frac{-4 \pi i}{5} }+e^{ \frac{4 \pi i}{5} }$
$4-e^{ \frac{4 \pi i}{5} }-e^{ \frac{-4 \pi i}{5} }-e^{ \frac{2 \pi i}{5} }-e^{ \frac{-2 \pi i}{5}}=4-2(Cos \frac{2 \pi }{5} +Cos \frac{4 \pi }{ 5 } )=4-2(-0.5)(?)=4+1=5$
$ \Box $
