به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
سایت پرسش و پاسخ ریاضی
+1 امتیاز
22 بازدید
در دبیرستان و دانشگاه توسط mansour (40 امتیاز)
ویرایش شده توسط قاسم شبرنگ

فرض کنید$A_0,A_1,A_2,A_3,A_4$;دایره واحد به شعاع یک را به ۵ بخش مساوی تقسیم کنند.ثابت کنید وترهای$A_0A_1وA_0A_2 $در تساوی زیر صدق میکنند: $(A_0A_1.A_0A_2)^2=5$

مرجع: کتاب حل مسئله از طریق مسئله لورنسی لارسن

1 پاسخ

0 امتیاز
توسط قاسم شبرنگ (1,227 امتیاز)
انتخاب شده توسط mansour
 
بهترین پاسخ

نقاط مورد نظر را ریشه های واح یک در نظر میگیریم و متناظر با اندیسها قرار میدهیم:

$z_k=e^{ \frac{2k \pi i}{5}},k=0,1,2,3,4$

واضح است که:

$A_0A_1^2=|z_1-z_0|^2=(z_1-z_0) \overline{(z_1-z_0)}=(z_1-z_0)( \overline{z_1} - \overline{z_0} )=(e^{ \frac{2\pi i}{5}}-1)(e^{ \frac{-2 \pi i}{5}}-1)$

$2-e^{ \frac{2 \pi i}{5} }-e^{ \frac{-2 \pi i}{5}}$

و به همین ترتیب:

$A_0A_2^2=(e^{ \frac{4\pi i}{5}}-1)(e^{ \frac{-4\pi i}{5}}-1)=2-e^{ \frac{4 \pi i}{5} }-e^{ \frac{-4 \pi i}{5}}$

$ \Rightarrow (A_0A_1.A_0A_2)^2=A_0A_1^2A_0A_2^2=(2-e^{ \frac{2 \pi i}{5} }-e^{ \frac{-2 \pi i}{5}})(2-e^{ \frac{4 \pi i}{5} }-e^{ \frac{-4 \pi i}{5}})$

$=4-2e^{ \frac{4 \pi i}{5} }-2e^{ \frac{-4 \pi i}{5} }-2e^{ \frac{2 \pi i}{5} }+e^{ \frac{6 \pi i}{5} }+e^{ \frac{-2 \pi i}{5} }-2e^{ \frac{-2 \pi i}{5} }+e^{ \frac{2 \pi i}{5} }+e^{ \frac{6 \pi i}{5} }$

$=4-2e^{ \frac{4 \pi i}{5} }-2e^{ \frac{-4 \pi i}{5} }-e^{ \frac{2 \pi i}{5} }-e^{ \frac{-2 \pi i}{5} }+e^{ \frac{6 \pi i}{5} }+e^{ \frac{-6 \pi i}{5} }$

$=4-2e^{ \frac{4 \pi i}{5} }-2e^{ \frac{-4 \pi i}{5} }-e^{ \frac{2 \pi i}{5} }-e^{ \frac{-2 \pi i}{5} }+e^{ \frac{6 \pi i}{5} -2 \pi i}+e^{ \frac{-6 \pi i}{5}+2 \pi i }$

$=4-2e^{ \frac{4 \pi i}{5} }-2e^{ \frac{-4 \pi i}{5} }-e^{ \frac{2 \pi i}{5} }-e^{ \frac{-2 \pi i}{5} }+e^{ \frac{-4 \pi i}{5} }+e^{ \frac{4 \pi i}{5} }$

$4-e^{ \frac{4 \pi i}{5} }-e^{ \frac{-4 \pi i}{5} }-e^{ \frac{2 \pi i}{5} }-e^{ \frac{-2 \pi i}{5}}=4-2(Cos \frac{2 \pi }{5} +Cos \frac{4 \pi }{ 5 } )=4-2(-0.5)(?)=4+1=5$

$ \Box $


حمایت مالی

کانال تلگرام محفل ریاضی
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود
...