Question

فرض کنید $$S_{1}$$ دنباله اعداد صحیح و مثبت ,...1,2,3,4,5,6باشد و دنباله $$S_{n+1}$$ را بر حسب $$S_{n}$$ به این طریق تعریف می‌کنیم که به عددهای عددها صحیح موجود در $$S_{n}$$ که بر n بخش پذیرند 1 واحد بیفزاییم در نتیجه برای مثال $$S_{2}$$ عبارت است از ...,2,3,4,5,6,7 عبارت است از ...,3,3,5,5,7,7عددهای صحیح n را طوری بیابید که اولین n-1 عدد صحیح دنباله $$S_{n}$$ مساوی n باشند.

Answer 1

راهنمایی برای حل:

چندتا از این دنباله ها را بنویسید تا ساختار آنها را حدس دهید:

$S_1:1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,19,20,...$

$S_2:2,3,4,5,6,7,8,,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,19,20,21,...$

$S_3:3,3,5,5,7,7,9,9,11,11,13,13,15,15,17,17,19,19,21,...$

$S_4:4,4,5,5,7,7,10,10,11,11,13,13,16,16,17,17,19,19,22,...$

$S_5:5,5,5,5,7,7,11,11,11,11,13,13,16,16,17,17,19,19,21,...$

$S_6:6,6,6,6,7,7,11,11,11,11,13,13,16,16,17,17,19,19,21,...$

$S_7:7,7,7,7,7,7,11,11,11,11,13,13,16,16,17,17,19,19,21,...$

$S_8:8,8,8,8,8,8,11,11,11,11,13,13,17,17,17,17,19,19,21,...$

$S_9:9,9,9,9,9,9,11,11,11,11,13,13,17,17,17,17,19,19,21,...$

$S_{10}:10,10,10,10,10,10,11,11,11,11,13,13,17,17,17,17,19,19,21,...$

$S_{11}:11,11,11,11,11,11,11,11,11,11,13,13,17,17,17,17,19,19,21,...$

$S_{12}:12,12,12,12,12,12,12,12,12,12,13,13,17,17,17,17,19,19,21,...$

$S_{13}:13,13,13,13,15,13,13,13,13,13,13,13,17,17,17,17,19,19,21,...$

$.$

$.$

$.$

حدس:

در دنبالۀ $S_n$ به ترتیب $p_t-1$ تا $n$ داریم سپس $p_{t+1}-p_t$ تا $p_{t+1}$، که در آن $p_t$ بزرگترین عدد اول کوچکتر از یا مساوی $n$ است.

درستی این حدس به کمک استقراء ریاضی اثبات می شود (؟) و از آنجا برای عدد اول $p$ دنبالۀ $S_p$ در ابتدا $p-1$ تا $p$ دارد.

$\Box$