Question

مطلوب است محاسبه انتگرال:

$$ \int _0^1 \int _0^1ln(1-xy)lnx.lnydxdy=?$$

Last solution:$$ \zeta (2)+ \zeta (3)+ \zeta (4)-4$$

Answer 1

ایده ای برای حل:

اول انتگرال داخلی را حساب می کنیم.قرار دهید:

$A(y):= \int _0^1Ln(1-xy)Ln(x)dx $

$\Rightarrow A(y)= \int _0^1Ln(x). \sum _{k=1}^ \infty \frac{-(xy)^k}{k} = \sum _{k=1}^ \infty \frac{-y^k}{k} \int _0^1Ln(x).x^kdx$

انتگرال ظاهر شده به کمک جزء به جزء به سادگی به دست می آید $ \frac{-1}{(k+1)^2} $ بنابر این:

$A(y)= \sum _{k=1}^ \infty \frac{y^k}{k(k+1)^2} $

$ \int _0^1 \int _0^1Ln(1-xy)Ln(x)Ln(y)= \int _0^1(\sum _{k=1}^ \infty \frac{y^kLn(y)}{k(k+1)^2})dy$

$=\sum _{k=1}^ \infty \frac{1}{k(k+1)^2} \int _0^1Ln(y).y^kdy$

$=-\sum _{k=1}^ \infty \frac{1}{k(k+1)^4}= \frac{ \pi ^4}{90} + \frac{ \pi ^2}{6} -4+ \zeta (3)$(چرا؟)

$ \Box $