Question

مطلوب است محاسبه انتگرال معین زیر:

$$ \int _0^ \frac{ \pi }{2} ln(4+ sec^{2}x)dx= \int _0^ \frac{ \pi }{2}ln(5+ tan^{2}x)dx= \pi ln(2 \varphi )$$

Answer 1

یک ایده برای حل:

تابع $I:[1,+ \infty )\longrightarrow R$ را به صورت زیر تعریف کنید:

$I(a):= \int _0^{ \frac{ \pi }{2} }Ln(a+tan^2(x))dx$

$ \Rightarrow I'(a)=\int _0^{ \frac{ \pi }{2} } \frac{dx}{a+tan^2(x)} = \int _0^ \infty \frac{dx}{(1+x^2)(a+x^2)} $(چرا؟)

توجه کنید حالت $a=1$ را جدا و به کمک تعریف مستقیم بررسی کنید(در ریاضیات هیچ چیز بدیهی نیست).بررسی کنید

$ \Rightarrow I(a)= \pi Ln( \sqrt{a} +1)$(چرا؟)$ \Rightarrow I(5)= \pi Ln(2 \varphi )$(?)

توجه شود که :

$I(1)=\int _0^{ \frac{ \pi }{2} }Ln(1+tan^2(x))dx=-2\int _0^{ \frac{ \pi }{2} }Ln(cos(x))dx= \pi Ln(2)= \pi Ln( \sqrt{1} +1)$

$Ln(2cos(x))= \sum _{n=1}^ \infty (-1)^{n-1} \frac{cos(2nx)}{n} ,- \pi < x< \pi $

$ \Box $