یک ایده برای حل:
مهمترین مرحله راهکار برای حل این گونه مسائل تجسم ذهنی شکل است.(من تا حدودی توانستم اما با مقوا شکل را ساختم ).فرض کنید طول و عرض مستطیلها به ترتیب $2b,2a$ و $2b',2a'$ و $2b'',2a''$ باشد.مستطیلها را در دستگاه دکارتی سه بعدی به ترتیب طوری در امتداد محورها رسم کنید که شرایط مسأله را داشته باشند و مرکزها بر مبدأ منطبق باشد.(توجه شود تعامد طولها باعث می شود چند وجهی ما محدب باشد).
قبل از هر چیز توجه کنید که اگر طولها متفاوت و عرضها هم متفاوت باسد شکل ما به ازای هر عرض هر مستطیل دو وجه دارد (؟) پس $12$ وجهی است.اگر طولها و عرضها هم مساوی باشند شکل ما مکعب مستطیل است.(فکر کنید که اگر فقط طولها یا فقط عرضها متفاوت باشد شکل چطوری است؟اگر دو طول یا مثلن دو عرض برابر باشند شکل چطور است؟)
حالا اگر حجم هر یک از هشت ناحیه را بیابیم سپس جمع کنیم حجم کل شکل به دست می آید.ناحیۀ اول شکل تشکیل شده است از یک مکعب به طول هر یال $a_0$ که $a_0=Min{$a,a',a''$}$ و نصف سه هرم قائم الزاویه به شرح زیر(نقاط رأسهای قاعده اند , و حروف به تنها ارتفاع هرم):
$(a,b,0),(-a,b,0),(b'',0,0),a''$
$(0,a',b'),(0,-a',b'),(0,b,0),a$
$(a'',0,b''),(-a'',0,b''),(0,0,b'),a'$
حالا اگر مساحت مستطیلها را به ترتیب با $S_1$ و $S_2$ و $S_3$ نشان دهیم (طول اضلاع را بیابید سپس به کمک دستور هرون مساحتها را ) برای ناحیه اول داریم:
$V=x^3+ \frac{1}{6}(S_1a'' +S_2a+S_3a')$
اگر طولها یا عرضها برابر باشد فرمول ساده تر می شود مثلن اگر هم طولها و هم عرضها برابر باشند قسمت پرانتز صفر است(؟)
به همین ترتیب حجم دیگر ناحیه ها را بیابید و در آخر سر جمع کنید.
$ \Box $
اگر نتوانستید شکل را مجسم کنید یا مقدو نشد شکل را بسازید ، شکل را در تور تنیدۀ جهانی به آدرس زیر ببینید:
https://www.pinterest.com/pin/303641199850915674/
