Question

ثابت کنید تانژانت ۷ درجه و ۳۰ دقیقه برابر است با: $$ \sqrt{6} + \sqrt{2} - \sqrt{3} -2$$ المپیاد ریاضی آلمان

Comments

می‌خواهیم ثابت کنیم:

$\tan(7^\circ 30') = \sqrt{6} + \sqrt{2} - \sqrt{3} - 2$

---

۱. تبدیل زاویه به کسری از درجه

$7^\circ 30' = 7.5^\circ = \frac{15^\circ}{2}$

پس باید ثابت کنیم:

$\tan\left( \frac{15^\circ}{2} \right) = \sqrt{6} + \sqrt{2} - \sqrt{3} - 2$

---

۲. استفاده از فرمول نیم‌زاویه برای تانژانت

فرمول:

$\tan\left( \frac{\theta}{2} \right) = \frac{\sin\theta}{1 + \cos\theta}$

یا

$\tan\left( \frac{\theta}{2} \right) = \frac{1 - \cos\theta}{\sin\theta}$

در اینجا


$\theta = 15^\circ.$

---

۳. محاسبه


$\sin 15^\circ$
و $\cos 15^\circ$



$\sin 15^\circ = \sin(45^\circ - 30^\circ) = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$

$\cos 15^\circ = \cos(45^\circ - 30^\circ) = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$

---

۴. استفاده از فرمول نیم‌زاویه



$\tan\left( \frac{15^\circ}{2} \right)$ =$ \frac{1 - \cos 15^\circ}{\sin 15^\circ}$

=$ \frac{1 - \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}}{\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}}$

= $\frac{\frac{4 - (\sqrt{6} + \sqrt{2})}{4}}{\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}}$

=$ \frac{4 - \sqrt{6} - \sqrt{2}}{\sqrt{6} - \sqrt{2}}$

---

۵. گویا کردن مخرج

مزدوج مخرج:


$\sqrt{6} + \sqrt{2}$

=$ \frac{(4 - \sqrt{6} - \sqrt{2})(\sqrt{6} + \sqrt{2})}{(\sqrt{6} - \sqrt{2})(\sqrt{6} + \sqrt{2})}$

مخرج:

$(\sqrt{6})^2 - (\sqrt{2})^2 = 6 - 2 = 4$

صورت:

$(4 - \sqrt{6} - \sqrt{2})(\sqrt{6} + \sqrt{2})$

=$ 4(\sqrt{6} + \sqrt{2}) - (\sqrt{6} + \sqrt{2})^2$

= $4\sqrt{6} + 4\sqrt{2} - \left[ 6 + 2 + 2\sqrt{12} \right]$

=$ 4\sqrt{6} + 4\sqrt{2} - (8 + 4\sqrt{3})$

= $4\sqrt{6} + 4\sqrt{2} - 8 - 4\sqrt{3}$

پس:

$\tan\left( \frac{15^\circ}{2} \right)$ = $\frac{4\sqrt{6} + 4\sqrt{2} - 8 - 4\sqrt{3}}{4}$

= \sqrt{6} + \sqrt{2} - 2 - \sqrt{3}$

---

۶. نتیجه


$\tan(7^\circ 30') = \sqrt{6} + \sqrt{2} - \sqrt{3} - 2$

که همان عبارت خواسته شده است.


$\boxed{\sqrt{6} + \sqrt{2} - \sqrt{3} - 2}$

Answer 1

$7^0,30^{'}= \frac{ \pi }{24} ,tan 2x = \frac{2tanx}{1-tan^2x} $

$ \Rightarrow tan \frac{ \pi }{12} = \frac{2tan \frac{ \pi }{24} }{1-tan^2 \frac{ \pi }{24} },tan \frac{ \pi }{6} = \frac{2tan \frac{ \pi }{12} }{1-tan^2 \frac{ \pi }{12} }$

حالا قرار دهید:

$x:=tan {\frac{ \pi }{12} },z:=tan {\frac{ \pi }{24} }$

$ \Rightarrow \frac{2x}{1-x^2} = \frac{1}{ \sqrt{3} } \Rightarrow 1-x^2=2 \sqrt{3} x \Rightarrow x^2+2 \sqrt{3} x=1 \Rightarrow x^2+2 \sqrt{3}+ \sqrt{3} ^2 =1+3=4$

$(x+ \sqrt{3} )^2=4 \Rightarrow \Rightarrow x= 2-\sqrt{3} $

$ \Rightarrow \frac{2z}{1-z^2} =2-\sqrt{3}= \frac{1}{2+\sqrt{3}} \Rightarrow 1-z^2=2(2+\sqrt{3}) \Rightarrow z^2+2(2+\sqrt{3})=1$

$ \Rightarrow z^2+2(2+\sqrt{3})+(2+\sqrt{3})^2=1+(2+\sqrt{3})^2 \Rightarrow (z+2+ \sqrt{3} )^2=1+4+4 \sqrt{3} +3$

$=8+2 \sqrt{3} =2(4+2\sqrt{3})=2(1+3+2\sqrt{3})=2(1+2\sqrt{3}+\sqrt{3}^2)=2( 1+ \sqrt{3} )^2$

$\Rightarrow (z+2+ \sqrt{3} )= \sqrt{2} (1+ \sqrt{3} )= \sqrt{2} + \sqrt{6} \Rightarrow z= \sqrt{2} + \sqrt{6}- \sqrt{3} -2$

$ \Box $

توجه شود که زاویه ما در ناحبه اوله و دارای تانژانت مثبت است و در حین حل معادلات درجه دو فقط جواب قابل قبول یا مثبت را در نظر داشتم.