به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
سایت پرسش و پاسخ ریاضی
+1 امتیاز
28 بازدید
در دبیرستان و دانشگاه توسط mansour (382 امتیاز)

ثابت کنید تانژانت ۷ درجه و ۳۰ دقیقه برابر است با: $$ \sqrt{6} + \sqrt{2} - \sqrt{3} -2$$ المپیاد ریاضی آلمان

1 پاسخ

+1 امتیاز
توسط قاسم شبرنگ (2,373 امتیاز)
ویرایش شده توسط قاسم شبرنگ
 
بهترین پاسخ

$7^0,30^{'}= \frac{ \pi }{24} ,tan 2x = \frac{2tanx}{1-tan^2x} $

$ \Rightarrow tan \frac{ \pi }{12} = \frac{2tan \frac{ \pi }{24} }{1-tan^2 \frac{ \pi }{24} },tan \frac{ \pi }{6} = \frac{2tan \frac{ \pi }{12} }{1-tan^2 \frac{ \pi }{12} }$

حالا قرار دهید:

$x:=tan {\frac{ \pi }{12} },z:=tan {\frac{ \pi }{24} }$

$ \Rightarrow \frac{2x}{1-x^2} = \frac{1}{ \sqrt{3} } \Rightarrow 1-x^2=2 \sqrt{3} x \Rightarrow x^2+2 \sqrt{3} x=1 \Rightarrow x^2+2 \sqrt{3}+ \sqrt{3} ^2 =1+3=4$

$(x+ \sqrt{3} )^2=4 \Rightarrow \Rightarrow x= 2-\sqrt{3} $

$ \Rightarrow \frac{2z}{1-z^2} =2-\sqrt{3}= \frac{1}{2+\sqrt{3}} \Rightarrow 1-z^2=2(2+\sqrt{3}) \Rightarrow z^2+2(2+\sqrt{3})=1$

$ \Rightarrow z^2+2(2+\sqrt{3})+(2+\sqrt{3})^2=1+(2+\sqrt{3})^2 \Rightarrow (z+2+ \sqrt{3} )^2=1+4+4 \sqrt{3} +3$

$=8+2 \sqrt{3} =2(4+2\sqrt{3})=2(1+3+2\sqrt{3})=2(1+2\sqrt{3}+\sqrt{3}^2)=2( 1+ \sqrt{3} )^2$

$\Rightarrow (z+2+ \sqrt{3} )= \sqrt{2} (1+ \sqrt{3} )= \sqrt{2} + \sqrt{6} \Rightarrow z= \sqrt{2} + \sqrt{6}- \sqrt{3} -2$

$ \Box $

توجه شود که زاویه ما در ناحبه اوله و دارای تانژانت مثبت است و در حین حل معادلات درجه دو فقط جواب قابل قبول یا مثبت را در نظر داشتم.


حمایت مالی

کانال تلگرام محفل ریاضی
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود
...