Question

درصورتی که داشته باشیم: $$a+ \frac{1}{b} =b+ \frac{1}{c} =c+ \frac{1}{a} $$ نشان دهید که: $$ | abc |=1 $$

Answer 1

$$a+ \frac{1}{b}=b+ \frac{1}{c} \Longrightarrow a-b= \frac{b-c}{bc} ,a+ \frac{1}{b}=c+ \frac{1}{a} \Longrightarrow a-c= \frac{b-a}{ab} ,b+ \frac{1}{c} =c+ \frac{1}{a} \Longrightarrow b-c= \frac{c-a}{ac} \hookrightarrow (a-b)(a-c)(b-c)=( \frac{b-a}{ab})( \frac{b-c}{bc})( \frac{c-a}{ac} )=( \frac{a-b}{ab} )( \frac{b-c}{bc} )( \frac{a-c}{ac} ) \Longrightarrow a^{2} b^{2} c^{2} =1 \Longrightarrow | abc | =1$$

Comments

استدلال ایراد دارد.
آخرین مرحله استدلال را زمانی می توانی نتیجه بگیرید که (a-b)(a-c)(b-c) صفر نباشد.حالت صفر را چطور نتیجه می گیرید؟
ببینید که مثلن 1/2+2=1/2+2=1/2+2 یعنی a=b=c=2 اما داریم: abc|=8|
سپاس.

---

بله،در صورت سوال فراموش شده به a,b,c مخالف یکدیگر هستند اشاره شود.