@ قسمت اول به نظر میرسه سوالتون این باشه : $ P_{ij}A P_{ij}=A $ .
قبل از اثبات اینو بگم که واضحه که معکوس ماتریس $ P_{ij}$ خود $ P_{ij}$ هست به عبارتی وقتی شما با جابجایی دو سطر i , j ماتریس همانی به $ P_{ij}$ رسیدید پس اگر مجددا این دو سطر رو در ماتریس $ P_{ij}$ جابجا کنید به ماتریس همانی میرسید و لذا داریم :
$$ P_{ij} P_{ij}= I_{n} $$
از طرفی به طور کلی ماتریس های اعمال سطری مقدماتی با همه ماتریس ها جابجا میشوند که این هم از تعریف آنها واضح است که هم از چپ و هم از راست اگر در یک ماتریس دلخواه ضرب شوند یک نتیجه را خواهند داشت. یعنی
$$ B P_{ij}= P_{ij}B $$ برای هر ماتریس دلخواه B . (میتوان به طور کلی برای یک ماتریس $n\times n $ به سادگی اثبات کرد که به دلیل طولانی شدن اثبات آن با خود شما دوست عزیز )
حال داریم :
$$ P_{ij}A P_{ij} =P_{ij}(A P_{ij})= P_{ij}( P_{ij}A)=I_{n}A=A$$
برای قسمت دوم که به نظر دترمینان $ P_{ij}$ را سوال کردید هم که کاملا به راحتی ثابت میشه که دترمینان اون با دترمینان ماتریس همانی برابر است زیرا بنا به مباحث دترمینان میدانیم که با تعویض دو سطر یا ستون از یک ماتریس دترمینان تغییر نمیکند لذا $ P_{ij}$ هم که از تعویض دو سطر i و j ماتریس همانی حاصل شده است پس دترمینان آن برابر دترمینان ماتریس همانی یعنی 1 است . $ \Box $
