Question

اکر$Pij$ماتریس حاصل از تعویض سطرهای $i$ام و $j$ام ماتریس $I$باشدو $A$ ماتریسی دلخواه

الف)ثابت کنید $P_{ij}(AP_{ij})$ ماتریس حاصل از تعویض سطرهای $i,j$(ستون های $< math>$I,J$< /math>$) آA است

ب)ثابت کنید$P^2_{ij}$ مقدار$ | P_{ij} | $ چیست؟

Comments

lمتاسفانه سوالتون واضح نیست اگر در تایپ مشکل دارید لطفا تصویری از سوال رو هم قرار دهید تا به کمک آن سوال رو ویرایش کنم.

Answer 1

@ قسمت اول به نظر میرسه سوالتون این باشه : $ P_{ij}A P_{ij}=A $ .

قبل از اثبات اینو بگم که واضحه که معکوس ماتریس $ P_{ij}$ خود $ P_{ij}$ هست به عبارتی وقتی شما با جابجایی دو سطر i , j ماتریس همانی به $ P_{ij}$ رسیدید پس اگر مجددا این دو سطر رو در ماتریس $ P_{ij}$ جابجا کنید به ماتریس همانی میرسید و لذا داریم : $$ P_{ij} P_{ij}= I_{n} $$

از طرفی به طور کلی ماتریس های اعمال سطری مقدماتی با همه ماتریس ها جابجا میشوند که این هم از تعریف آنها واضح است که هم از چپ و هم از راست اگر در یک ماتریس دلخواه ضرب شوند یک نتیجه را خواهند داشت. یعنی $$ B P_{ij}= P_{ij}B $$ برای هر ماتریس دلخواه B . (میتوان به طور کلی برای یک ماتریس $n\times n $ به سادگی اثبات کرد که به دلیل طولانی شدن اثبات آن با خود شما دوست عزیز )

حال داریم : $$ P_{ij}A P_{ij} =P_{ij}(A P_{ij})= P_{ij}( P_{ij}A)=I_{n}A=A$$

برای قسمت دوم که به نظر دترمینان $ P_{ij}$ را سوال کردید هم که کاملا به راحتی ثابت میشه که دترمینان اون با دترمینان ماتریس همانی برابر است زیرا بنا به مباحث دترمینان میدانیم که با تعویض دو سطر یا ستون از یک ماتریس دترمینان تغییر نمیکند لذا $ P_{ij}$ هم که از تعویض دو سطر i و j ماتریس همانی حاصل شده است پس دترمینان آن برابر دترمینان ماتریس همانی یعنی 1 است . $ \Box $