انتگرال معین زیر را ثابت کنید.

Question

نشان دهید که:

$$ \int _ { -\pi } ^ \pi \frac{xsinxArccot( 2024^{x} )}{1+ cos^{2n} x} dx= \frac{ \pi ^{2} }{8n}[ \psi ( \frac{2n+1}{4n} )- \psi ( \frac{1}{4n} )]$$

Comments

$$ I_{1} = \int _ {- \pi } ^ \pi  \frac{xsinxArccot( 2024^{x} )}{1+ cos^{2n} x} dx \wedge x=-t Summary \wedge  I_{2}= \int _ {- \pi } ^ \pi  \frac{xsinxArccot( 2024^{-x} )}{1+ cos^{2n} x}  dx  \Longrightarrow  I_{1} + I_{2} = 2I=\int _ {- \pi } ^ \pi  \frac{xsinx}{1+ cos^{2n} x} [Arccot( 2024^{x} )+Arccot( 2024^{-x} )] dx \wedge Arccot ( 2024^{x} )+Arccot ( \frac{1}{ 2024^{x} } )= \frac{ \pi }{2} $$

---

پاسخ در لینک روبرو:https://s9.uupload.ir/files/mansour4887/Doc17.pdf?download