به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
سایت پرسش و پاسخ ریاضی
0 امتیاز
20 بازدید
در دانشگاه توسط mansour (382 امتیاز)

به ازای m های بزرگتر از1 -s,s مخالف یک: $$ \int _0^ \infty \frac{sin(a x^{m}) }{ x^{s} } dx= \frac{ \sqrt[m]{ a^{s-1} } }{s-1}. \Gamma (1- \frac{s-1}{m} )sin( \frac{ \pi }{2} (s-1)) $$

1 پاسخ

0 امتیاز
توسط mansour (382 امتیاز)
ویرایش شده توسط mansour
 
بهترین پاسخ

$$ \int _0^ \infty x^{s-1} sinxdx= \Gamma (s)sin( \frac{ \pi s}{2} ) \wedge x=ay \Longrightarrow \int _0^ \infty a^{s-1} y^{s-1} sin(ay)ady= \Gamma (s)sin( \frac{ \pi s}{2} ) \Longrightarrow \int _0^ \infty y^{-s-1} sin(ay)dy= \frac{ \Gamma (-s)}{ a^{-s} } (-sin( \frac{ \pi s}{2} ))=- \frac{ \Gamma (-s)}{ a^{-s} } sin( \frac{ \pi s}{2} ) \Longrightarrow \int _0^ \infty \frac{sin(ay)}{ y^{1+s} } dy=- \frac{s \Gamma (-s)}{s} a^{s} sin( \frac{ \pi s}{2} )= \frac{ a^{s} }{s} \Gamma (1-s)sin( \frac{ \pi s}{2} ) \wedge y= x^{m} \Longrightarrow \int _0^ \infty \frac{sin(a x^{m} }{ x^{m+ms} } \frac{m x^{m} }{x} dx \wedge s-1 < m \wedge s < m+1 \wedge s is not one \Longrightarrow \int _0^ \infty \frac{sin(a x^{m} )}{ x^{ms+1} } dx= \frac{ a^{s} }{ms} \Gamma (1-s)sin( \frac{ \pi }{2m} (s-1)) \wedge s \rightarrow \frac{s}{m} \Longrightarrow \int _0^ \infty \frac{sin(a x^{m}) }{ x^{1+s} } dx= \frac{ \sqrt[m]{ a^{s} } }{ m.{ \frac{s}{m} } } \Gamma (1- \frac{s}{m} )sin( \frac{ \pi s}{2m} ) \wedge s \rightarrow s-1 \Longrightarrow \int _0^ \infty \frac{sin(a x^{m} }{ x^{s} } dx= \frac{ \sqrt[m]{ a^{s-1} } }{s-1} \Gamma (1- \frac{s-1}{m} )sin( \frac{ \pi }{2m} (s-1))$$


حمایت مالی

کانال تلگرام محفل ریاضی
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود
...