اگر n طبیعی باشد ثابت کنید:

Question

اگر n طبیعی باشد دو گزاره زیر را ثابت کنید: $$ \frac{3}{10n}+Log_ {10} n < Log_ {10} (n+1)$$ $$Log_{10} n! > \frac{3n}{10}( \frac{1}{2} + \frac{1}{3} +...+ \frac{1}{n} -1) $$

Answer 1

از دنبالۀ نپر داریم:

$(1+ \frac{1}{n} )^n< e< (1+ \frac{1}{n} )^{n+1},(n \in N)$

حالا از نامساوی سمت راست لگاریتم طبیعی بگیرید:

$ \Rightarrow Lne=Ln(1+ \frac{1}{n})^{n+1} \Rightarrow 1< (n+1)Ln(1+ \frac{1}{n} ) \Rightarrow \frac{1}{n+1} < Ln \frac{n+1}{n} $

$\Rightarrow \frac{1}{n+1} < Ln(n+1)-Lnn \Rightarrow \frac{1}{Ln10.(n+1)} < \frac{Ln(n+1)}{Ln10} -\frac{Lnn}{Ln10}$

$ \Rightarrow \frac{1}{Ln10.(n+1)}< Log_{10}^{(n+1)}-Log_{10}^n$

پس کافیست نشان دهیم که $\frac{1}{Ln10.(n+1)}> \frac{3}{10n} $:

$\frac{1}{Ln10.(n+1)}> \frac{3}{10n} \Leftrightarrow \frac{n}{n+1} < \frac{10}{3Ln10} $

حالا توجه کنید که:

$ \frac{n}{n+1} < 1,1< \frac{10}{3Ln10}($چرا؟$)$

به این ترتیب نامساوی اول ثابت شد.حالا اگر در نامساوی اول لگاریتمها را به سمت راست ببرید و طرفین همۀ نامساوی ها را از $2$ تا $n$ با هم جمع کنید داریم:

$Log_{10}^{(n+1)}-Log_{10}^2> \frac{3}{10} ( \frac{1}{2} + \frac{1}{3} +...+ \frac{1}{n} ) \Rightarrow Log_{10}^{(n+1)}-Log_{10}^2- \frac{3}{10} > \frac{3}{10} ( \frac{1}{2} + \frac{1}{3} +...+ \frac{1}{n}-1)$

$\Rightarrow n(Log_{10}^{(n+1)}-Log_{10}^2- \frac{3}{10}) > \frac{3n}{10} ( \frac{1}{2} + \frac{1}{3} +...+ \frac{1}{n}-1)$

حالا برای نامساوی دوم کافیست نشان دهیم:

$Log_{10}^{n!} \geq n(Log_{10}^{(n+1)}-Log_{10}^2- \frac{3}{10}) \Leftrightarrow Log_{10}^{ \frac{(n+1)^n}{2^nn!} } \leq \frac{3n}{10} \Leftrightarrow \frac{(n+1)^n}{2^nn!} \leq 10^{ \frac{3n}{10} } \Leftrightarrow \frac{n+2}{2 \sqrt[n]{n!} } \leq 10^{ \frac{3}{10} }$

حالا توجه کنید که :

$\frac{n+1}{2 \sqrt[n]{n!} } \leq 1 ($چرا؟$) ,1< 10^{ \frac{3}{10} }$

$ \Box $