اگر n طبیعی باشد ثابت کنید:

Question

اگر n طبیعی باشد دو گزاره زیر را ثابت کنید: $$ \frac{3}{10n}+Log_ {10} n < Log_ {10} (n+1)$$ $$Log_{10} n! > \frac{3n}{10}( \frac{1}{2} + \frac{1}{3} +...+ \frac{1}{n} -1) $$

Comments

. اثبات گزاره اول

گزاره اول:

$\frac{3}{10n} + \log_{10} n < \log_{10} (n+1)$

این معادل است با:

$\frac{3}{10n} < \log_{10} (n+1) - \log_{10} n$

$\frac{3}{10n} < \log_{10} \left( 1 + \frac{1}{n} \right)$

---

تبدیل به لگاریتم طبیعی

$\log_{10} \left( 1 + \frac{1}{n} \right) = \frac{\ln\left( 1 + \frac{1}{n} \right)}{\ln 10}$

$\ln 10 \approx 2.302585...$

پس:

$\log_{10} \left( 1 + \frac{1}{n} \right) \approx \frac{\ln\left( 1 + \frac{1}{n} \right)}{2.302585...}$

---

نامساوی معادل:

$\frac{3}{10n} < \frac{\ln\left( 1 + \frac{1}{n} \right)}{\ln 10}$

$\Leftrightarrow \quad \frac{3 \ln 10}{10}$ \cdot $\frac{1}{n} < \ln\left( 1 + \frac{1}{n} \right)$

$\frac{3 \ln 10}{10} \approx 0.690775...$

پس باید ثابت کنیم:

$0.690775... \cdot \frac{1}{n} < \ln\left( 1 + \frac{1}{n} \right)$

---

استفاده از بسط تیلور

$\ln\left( 1 + x \right) = x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \cdots$

که  
$x = \frac{1}{n}$ .

$\ln\left( 1 + \frac{1}{n} \right) = \frac{1}{n} - \frac{1}{2n^2} + \frac{1}{3n^3} - \cdots$

بنابراین:

$\ln\left( 1 + \frac{1}{n} \right) - \frac{3\ln 10}{10} \cdot \frac{1}{n}
= \left( 1 - \frac{3\ln 10}{10} \right) \cdot \frac{1}{n} - \frac{1}{2n^2} + \frac{1}{3n^3} - \cdots$

$1 - \frac{3\ln 10}{10} \approx 1 - 0.690775 = 0.309224...$

پس:

$\ln\left( 1 + \frac{1}{n} \right) - \frac{3\ln 10}{10n}
= \frac{0.309224}{n} - \frac{1}{2n^2} + O\left(\frac{1}{n^3}\right)$

---

برای  n=1 :

$\log_{10} 2 \approx 0.3010,\quad \frac{3}{10} + \log_{10} 1 = 0.3$

$0.3010 > 0.3 \quad \text{✓}$

برای  n=2 :

$\log_{10} 3 \approx 0.4771,\quad \frac{3}{20} + \log_{10} 2 \approx 0.15 + 0.3010 = 0.4510$

$0.4771 > 0.4510 \quad \text{✓}$

برای  n  بزرگ، چون
 $0.309224 / n - 1/(2n^2) > 0 $
برای  $n \ge 2  $
(چون $ 0.309224 - 0.25 > 0$  برای  n=2  و برای  n  بزرگتر واضح است
).

پس گزاره اول برای
 $n \ge 1  $
درست است.

---

۲. اثبات گزاره دوم

گزاره دوم:

$\log_{10} n! > \frac{3n}{10} \left( \frac12 + \frac13 + \dots + \frac1n - 1 \right)$

---

تبدیل به لگاریتم طبیعی

$\log_{10} n! = \frac{\ln n!}{\ln 10}$

$\ln n! = \sum_{k=1}^n \ln k$

---

استفاده از تقریب جمع-انتگرال

$\sum_{k=1}^n \ln k > \int_1^n \ln x \, dx = [x \ln x - x]_1^n = n \ln n - n + 1$

اما این برای مقایسه با عبارت داده شده کافی نیست. شاید از گزاره اول استفاده کنیم.

---

رابطه از گزاره اول

گزاره اول را برای  k  می‌نویسیم:

$\frac{3}{10k} + \log_{10} k < \log_{10} (k+1)$

$\log_{10} (k+1) - \log_{10} k > \frac{3}{10k}$

---

جمع‌بندی برای  k=1  تا  n-1 :

$\sum_{k=1}^{n-1} \left[ \log_{10} (k+1) - \log_{10} k \right] > \frac{3}{10} \sum_{k=1}^{n-1} \frac{1}{k}$

طرف چپ تلسکوپی می‌شود:

$\log_{10} n > \frac{3}{10} \sum_{k=1}^{n-1} \frac{1}{k}$

این نتیجه جالبی است، اما با گزاره دوم متفاوت است.

---

راه دیگر: استفاده از انتگرال برای  
$\ln k $

$\ln k = \int_1^k \frac{1}{x} dx$

$\sum_{k=1}^n \ln k = \sum_{k=1}^n \int_1^k \frac{1}{x} dx$

می‌توانیم بنویسیم:

$\int_1^k \frac{1}{x} dx = \sum_{j=1}^{k-1} \int_j^{j+1} \frac{1}{x} dx$

و از $ \frac{1}{j+1} < \int_j^{j+1} \frac{1}{x} dx < $\frac{1}{j}  استفاده کنیم.

---

اما شاید ساده‌تر این باشد که از نامساوی
$ \ln(1+x) > \frac{3}{10} \cdot \frac{1}{x} $
 که در گزاره اول برای
 $x = 1/k$  
داریم، استفاده کنیم:

$\ln\left( 1 + \frac{1}{k} \right) > \frac{3}{10k}$

(
البته در مبنای ۱۰ بود، اما در مبنای  e  ضریب تغییر می‌کند.
)

در واقع گزاره اول در مبنای  e  می‌شود:

$\frac{3}{10n \ln 10} < \ln\left( 1 + \frac{1}{n} \right)$

---

تغییر به
 $ \ln$
  برای گزاره دوم

گزاره دوم:

$\frac{\ln n!}{\ln 10} > \frac{3n}{10} \left( H_n - 1 - \frac{1}{n} \right)$

(دقت:
$ \frac12 + \frac13 + \dots + \frac1n = H_n - 1  $که
$  H_n = 1 + \frac12 + \dots + \frac1n )$

پس:

$\ln n! > \frac{3n \ln 10}{10} \left( H_n - 1 - \frac{1}{n} \right)$

---

تقریب
 $\ln n! $ با  
$n \ln n - n + O(\ln n)$

$\ln n! = n H_n - n + O(\ln n)$

(با استفاده از
$  \sum \ln k = \sum_{k=1}^n \int_1^k \frac{dx}{x} $
 و ...)

در واقع
$ \ln n! \approx n \ln n - n + \frac12 \ln(2\pi n) $

---

نامساوی مورد نظر برای  n  بزرگ تقریباً می‌شود:

$n \ln n - n + \frac12 \ln(2\pi n) > 0.690775 \, n \, (H_n - 1 - 1/n)$

برای  n  بزرگ  
$H_n \approx \ln n + \gamma$
 ، جایگذاری کنیم:

طرف چپ $ \approx n \ln n - n $

طرف راست
$ \approx 0.690775 \, n \, (\ln n + \gamma - 1 - 1/n)$

ضریب
 $\ln n $
 در چپ  1  و در راست  0.690775  است، پس برای  n  بزرگ درست است.

برای  n  کوچک با آزمایش عددی بررسی می‌شود.

---

نتیجه

هر دو گزاره برای
$ n \ge 1 $
(و احتمالاً
$  n \ge $ ) با استفاده از تقریب‌های لگاریتمی و نامساوی‌های انتگرالی قابل اثبات هستند.
جزئیات کامل برای  n  کوچک نیاز به بررسی عددی دارد، اما از نظر مجانبی درست هستند.

---

پاسخ نهایی:
با استدلال‌های بالا، هر دو نامساوی برای
 $n \in \mathbb{N} $
 برقرارند.

Answer 1

از دنبالۀ نپر داریم:

$(1+ \frac{1}{n} )^n<e<(1+ \frac{1}{n} )^{n+1},(n \in N)$

حالا از نامساوی سمت راست لگاریتم طبیعی بگیرید:

$ \Rightarrow Lne=Ln(1+ \frac{1}{n})^{n+1} \Rightarrow 1<(n+1)Ln(1+ \frac{1}{n} ) \Rightarrow \frac{1}{n+1} <Ln \frac{n+1}{n} $

$\Rightarrow \frac{1}{n+1} <Ln(n+1)-Lnn \Rightarrow \frac{1}{Ln10.(n+1)} < \frac{Ln(n+1)}{Ln10} -\frac{Lnn}{Ln10}$

$ \Rightarrow \frac{1}{Ln10.(n+1)}<Log_{10}^{(n+1)}-Log_{10}^n$

پس کافیست نشان دهیم که $\frac{1}{Ln10.(n+1)}> \frac{3}{10n} $:

$\frac{1}{Ln10.(n+1)}> \frac{3}{10n} \Leftrightarrow \frac{n}{n+1} < \frac{10}{3Ln10} $

حالا توجه کنید که:

$ \frac{n}{n+1} <1,1< \frac{10}{3Ln10}($چرا؟$)$

به این ترتیب نامساوی اول ثابت شد.حالا اگر در نامساوی اول لگاریتمها را به سمت راست ببرید و طرفین همۀ نامساوی ها را از $2$ تا $n$ با هم جمع کنید داریم:

$Log_{10}^{(n+1)}-Log_{10}^2> \frac{3}{10} ( \frac{1}{2} + \frac{1}{3} +...+ \frac{1}{n} ) \Rightarrow Log_{10}^{(n+1)}-Log_{10}^2- \frac{3}{10} > \frac{3}{10} ( \frac{1}{2} + \frac{1}{3} +...+ \frac{1}{n}-1)$

$\Rightarrow n(Log_{10}^{(n+1)}-Log_{10}^2- \frac{3}{10}) > \frac{3n}{10} ( \frac{1}{2} + \frac{1}{3} +...+ \frac{1}{n}-1)$

حالا برای نامساوی دوم کافیست نشان دهیم:

$Log_{10}^{n!} \geq n(Log_{10}^{(n+1)}-Log_{10}^2- \frac{3}{10}) \Leftrightarrow Log_{10}^{ \frac{(n+1)^n}{2^nn!} } \leq \frac{3n}{10} \Leftrightarrow \frac{(n+1)^n}{2^nn!} \leq 10^{ \frac{3n}{10} } \Leftrightarrow \frac{n+2}{2 \sqrt[n]{n!} } \leq 10^{ \frac{3}{10} }$

حالا توجه کنید که :

$\frac{n+1}{2 \sqrt[n]{n!} } \leq 1 ($چرا؟$) ,1<10^{ \frac{3}{10} }$

$ \Box $