به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
سایت پرسش و پاسخ ریاضی
+1 امتیاز
41 بازدید
در دانشگاه توسط Vahidi fard (248 امتیاز)
ویرایش شده توسط Vahidi fard

یکی از زیبا ترین پرسش های مسابقات انتگرال گیری دانشگاه MIT آمریکا در سال 2023: مطلوب است حلّ انتگرال زیر: $\int_{\frac{1}{e}}^{e}\left(1-\frac{1}{x^{2}}\right)e^{e^{x+\frac{1}{x}}}\text{d}x$

2 پاسخ

0 امتیاز
توسط Vahidi fard (248 امتیاز)
 
بهترین پاسخ

از تغییر متغیر $u= \frac{1}{x} $ استفاده می‌کنیم:

$ \text{d}u=-\frac{\text{d}x}{x^{2}} $

بنابر این داریم: $\int_{\frac{1}{e}}^{e}\left(1-\frac{1}{x^{2}}\right)e^{e^{x+\frac{1}{x}}}\text{d}x=-\int_{e}^{\frac{1}{e}}\left(1-u^{2} \right){}e^{e^{u+\frac{1}{e}}}\frac{\text{d}u}{u^{2}}$ با مرتب سازی داریم: $ \int_{\frac{1}{e}}^{e}\left(1-\frac{1}{x^{2}}\right)e^{e^{x+\frac{1}{x}}}\text{d}x=\int_{\frac{1}{e}}^{e}\left(1-u^{2} \right){}e^{e^{u+\frac{1}{e}}}\text{d}u $ بنابر این می‌توان ادعا کرد: $\int_{\frac{1}{e}}^{e}\left(1-\frac{1}{x^{2}}\right)e^{e^{x+\frac{1}{x}}}\text{d}x=-\int_{\frac{1}{e}}^{e}\left(1-\frac{1}{x^{2}}\right)e^{e^{x+\frac{1}{x}}}\text{d}x=0$

+1 امتیاز
توسط قاسم شبرنگ (2,420 امتیاز)
ویرایش شده توسط قاسم شبرنگ

قرار دهید:

$u:=x+ \frac{1}{x} \Rightarrow du=(1- \frac{1}{x^2} )dx,u(e)=e+ \frac{1}{e} ,u( \frac{1}{e} )= \frac{1}{e} + \frac{1}{ \frac{1}{e} }=e+ \frac{1}{e} $

$ \Rightarrow \int _{ \frac{1}{e} }^e(1- \frac{1}{x^2} )e^{x+ \frac{1}{x} }dx= \int _{e+ \frac{1}{e}}^{e+ \frac{1}{e}}e^udu=0$

$ \Box$

توجه شود که اگر $e$ حتا عدد نپر نباشد به شرطی که $e>0$ انتگرال صفر می شود.

توسط Vahidi fard (248 امتیاز)
ببخشید یک ایراد داشت سوال
اصلاحش کردم

حمایت مالی

کانال تلگرام محفل ریاضی
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود
...