آزمون انتگرال دانشگاه MIT

Question

یکی از زیبا ترین پرسش های مسابقات انتگرال گیری دانشگاه MIT آمریکا در سال 2023: مطلوب است حلّ انتگرال زیر: $\displaystyle\int_{\frac{1}{e}}^{e}\left(1-\frac{1}{x^{2}}\right)e^{e^{x+\frac{1}{x}}}\text{d}x$

Answer 1

از تغییر متغیر $u= \frac{1}{x}$ استفاده می‌کنیم:

$\displaystyle \text{d}u=-\frac{\text{d}x}{x^{2}}$

بنابر این داریم: $\displaystyle\int_{\frac{1}{e}}^{e}\left(1-\frac{1}{x^{2}}\right)e^{e^{x+\frac{1}{x}}}\text{d}x=-\int_{e}^{\frac{1}{e}}\left(1-u^{2} \right){}e^{e^{u+\frac{1}{e}}}\frac{\text{d}u}{u^{2}}$ با مرتب سازی داریم: $\displaystyle\int_{\frac{1}{e}}^{e}\left(1-\frac{1}{x^{2}}\right)e^{e^{x+\frac{1}{x}}}\text{d}x=\int_{\frac{1}{e}}^{e}\left(1-u^{2} \right){}e^{e^{u+\frac{1}{e}}}\text{d}u$ بنابر این می‌توان ادعا کرد: $\displaystyle\int_{\frac{1}{e}}^{e}\left(1-\frac{1}{x^{2}}\right)e^{e^{x+\frac{1}{x}}}\text{d}x=-\int_{\frac{1}{e}}^{e}\left(1-\frac{1}{x^{2}}\right)e^{e^{x+\frac{1}{x}}}\text{d}x=0$

Answer 2

قرار دهید:

$u:=x+ \frac{1}{x} \Rightarrow du=(1- \frac{1}{x^2} )dx,u(e)=e+ \frac{1}{e} ,u( \frac{1}{e} )= \frac{1}{e} + \frac{1}{ \frac{1}{e} }=e+ \frac{1}{e}$

$\Rightarrow \int _{ \frac{1}{e} }^e(1- \frac{1}{x^2} )e^{x+ \frac{1}{x} }dx= \int _{e+ \frac{1}{e}}^{e+ \frac{1}{e}}e^udu=0$

$\Box$

توجه شود که اگر $e$ حتا عدد نپر نباشد به شرطی که $e>0$ انتگرال صفر می شود.

Comments

ببخشید یک ایراد داشت سوال
اصلاحش کردم