Question

مطلوب است تعیین همه چند جمله ای های f بر اعداد حقیقی که :(xحقیقی) $$f(x)=xf'( \frac{x}{ \sqrt{3} } )$$

Answer 1

$$f(x)= \sum _ {i=0} ^na_i x^{i} \Longrightarrow f'(x)= \sum _ {i=1} ^nia_i x^{i-1} \Longrightarrow xf'( \frac{x}{ \sqrt{3} } )= \sum _ {i=1} ^ni \frac{a_i}{ (\sqrt{3}) ^{i-1} } x^{i} \wedge a_n= \frac{na_n}{ (\sqrt{3} )^{n-1} },n=0,1,2,... \wedge a_n \neq 0 \Longrightarrow n^{2} = 3^{n-1},n=1,2 $$ به استقرا ثابت می‌شود: $$4 \leq n: n^{2} < 3^{n-1} \Longrightarrow f(x)=a_3 x^{3} +a_1x:a_1,a_3 \in R \wedge a_3=0 \Longrightarrow f(x)=a_1x$$

Answer 2

فرض کنید:

$f(x)=a_0+a_1x+a_2x^2+a_3x^3+...+a_nx^n$

$ \Rightarrow f'(x)=a_1+2a_2x+3a_3x^2+...+na_nx^{n-1}$

$ \Rightarrow a_0+a_1x+a_2x^2+a_3x^3+...+a_nx^n= x(a_1+2\frac{2a_2}{ \sqrt{3}} x+ \frac{3a_3}{ \sqrt{3} ^2} x^3+...+ \frac{na_n}{ \sqrt{ab} ^{n-1}} x^{n-1})$

$ \Rightarrow a_k= \frac{ka_k}{ \sqrt{3} ^{k-1}} ,(2 \leq k \leq n) \Rightarrow a_k=0(2 \leq k \leq n,k \neq 1) ($چرا؟$) \Rightarrow f(x)=a_1x$

$ \Box $