Question

اگر a,b,c,d اعداد صحیح باشند که ad فرد و bc زوج باشد، ثابت کنید حداقل یکی از ریشه های چند جمله ای $$a x^{۳} +b x^{۲} +cx+d$$ گنگ است.

Comments

حکم درستی نیست.

معادلۀ $x^3-1=0$ را در نظر بگیرید.در این معادله داریم:

$ad=1 \times (-1)=-1 ($زوج$),bc=0 \times 0=0 ($فرد$)$

این معادله دارای یک ریشۀ حقیقی گویا $x=1$ و دو ریشۀ مختلط است.

$ \Box $

---

a,b,c,d مخالف صفراند.

---

لطفن صورت سوالها را با دقت و کامل بنویسید.

---

این سوال درسته چون تعریف اعداد گنگ همان غیر گویاست. اعداد مختلط غیر گویا همان اعداد گنگ محسوب می شود.

Answer 1

توجه:گنگ همان غیر گویاست

برهان خلف، فرض کنید هر سه ریشهٔ چندجمله‌ای

$$r_i= \frac{p_i}{q_i}, i=1,2,3$$

کسرها ساده شده هستند. با استفاده از قضیهٔ ریشهٔ گویا ها داریم که

$$q_i/a, p_i/d $$

پس $p_i, q_i$ فردند

بنابراین مجموع سه ریشه گویا بانسبتهای فرد نیز عدد گویا با نسبت های فرد می باشد در نتیجه b نیز فرد است.

از طرفی مجموع حاصل ضرب دو بدو ریشه ها با نسبتهای فرد نیز فرد می باشند پس C نیز فرداست این همان تناقض است.