Question

$$A "Simple -Complex "Logarithmic Integral; ( \int _0^1 \sqrt{-log_3(x)} dx)( \int _0^1 \frac{ \sqrt{-log(x)} }{ x^{3} } dx)^{-1} = \frac{2 \sqrt{2}i }{ \sqrt{log3} } $$

Comments

حاصل انتگرال مخرج مثبت بینهایت است.پس حاصلضرب فوق تعریف نشده است.

Answer 1

$$log_3(x)= \frac{logx}{log3} \Longrightarrow I= \frac{1}{ \sqrt{log3} } ( \int _0^1 \sqrt{-logx}dx ) ( \int _0^1\frac{ \sqrt{-logx} }{ x^{3} } dx )^{-1}= \frac{1}{ \sqrt{log3} } [I(0)][ I^{-1} (3)] \wedge I(a) = \int _0^1 \frac{ \sqrt{-logx} }{ x^{a} }dx \wedge t=-logx \Longrightarrow I(a)= \int _0^ { \infty } t^{ \frac{1}{2} } . e^{-(1-a)t} dt \wedge \int _0^ { \infty } e^{-zx} . x^{ \eta -1} dx= \frac{ \Gamma ( \eta )}{ \eta ^{z} } \Longrightarrow I(a)= \frac{ \Gamma (1+ \frac{1}{2} )}{ (1-a)^{(1+ \frac{1}{2} )} } = \frac{ \Gamma ( \frac{3}{2} )}{ (1-a)^{ \frac{3}{2} } } =\frac{ \sqrt{ \pi } }{2 (1-a)^{ \frac{3}{2} } } \Longrightarrow I(0)= \frac{ \sqrt{ \pi } }{2} \wedge I(3)= \frac{ \sqrt{ \pi } }{2 \sqrt{ (-2)^{3} } } = \frac { \pi }{4 \sqrt{2} i} \Longrightarrow ?= \frac{1}{ \sqrt{log3} } . \frac{ \sqrt{ \pi } }{2} . \frac{4 \sqrt{2} i}{ \sqrt{ \pi } }= \frac{2 \sqrt{2} i}{ \sqrt{log3} } $$

Comments

حاصل رادیکال دوم بینهایت است.تازه اگر موجود هم باشد چطور طرفی حقیقی و طرفی مختلط است؟

---

با مختلط در نظر گرفتن x و در نتیجه لگاریتم که در صورت سوال اشاره شده مسئله روشن نیست؟

---

متوجه شدم.