Question

اگر f بر بازه $$[0,a]$$ دارای مشتق دوم باشد و داریم: $$ \forall x \in [0,a]:f''(x) < 0 \wedge f(0)=0$$ ثابت کنید: $$ \forall x \in (0,a) \wedge \forall m \in (0,1)\Longrightarrow mf(x) < f(mx) $$

Comments

اگر m=1 آنگاه نتیجه درست نیست زیرا f(x)<f(x) درست نیست.

---

با عرض معذرت در قسمت اثبات بازه ها باز بودند که اصلاح کردم.

Answer 1

$$g(x)=mf(x)-f(mx): f''in [0,a] exists \Longrightarrow f,f'in [0,a]"continuity function "and f' exists \Longrightarrow g(x) in [0,a] "differentiable" \Longrightarrow g'(x)=m(f'(x)-f'(mx)) \wedge f''(x) < 0 \Longrightarrow f' on[0,a] "strictly downward:0 < x \wedge 0 < m < 1 \Longrightarrow mx < x \Longrightarrow f'(x)-f'(mx) < 0 \Longrightarrow f'(x) < f'(mx) \wedge 0 < m \Longrightarrow g'(x) < 0:g "strictly decreasing function \wedge 0 < x \Longrightarrow g(x) < g(0) \Longrightarrow mf(x)-f(mx) < mf(0)-f(0) \Longrightarrow mf(x) < f(mx) $$ به ازای x=0 تساوی برقرار است.

Answer 2

در بازۀ $[0,a]$ چون $(-f)''=-f''>0$ پس تابع $-f$ در این بازه اکیدن محدب است پس:

$ \forall m \in (0,1):0< m,1-m< 1,m+(1-m)=1$

$ \Rightarrow \forall m \in (0,1),\forall x \in (0,a]:$

$(-f)((1-m) \times 0+mx)< (1-m)(-f)(0)+m(-f)(x)$

$ \Rightarrow (1-m) \times 0-f(mx)< -mf(x) \Rightarrow 0-f(mx)< -mf(x) $

$\Rightarrow mf(x)< f(mx)$

$ \Box $