x را طوری بیابید که: $$ \frac{sin3xcos(60-4x)+1}{sin(60-7x)-cos(30+x)+m} =0$$

Question

مقدار $x$ را طوری بیابید که:

$ \frac{sin3xcos(60-4x)+1}{sin(60-7x)-cos(30+x)+m} =0$

که $m$ یک عدد ثابت حقیقی است.

Answer 1

$\frac{sin(3x)cos(60-4x)+1}{sin(60-7x)-c0s(30+7x)}=0 \Rightarrow sin(3x)cos(60-4x)+1 \Rightarrow sin(3x)cos(60-4x)=-1$

$(sin(3x)=1,cos(60-4x)=-1) \vee (sin(3x)=-1,cos(60-4x)=1)$(چرا؟):

$1)if:sin(3x)=1,cos(60-4x)=-1) $

$\Rightarrow 3x=2k \pi + \frac{ \pi }{2},3x=(2k+1) \pi -\frac{ \pi }{2},\frac{ \pi }{3}-4x=2k' \pi _-^+ \pi$

$ \Rightarrow 3x=2k \pi _-^+\frac{ \pi }{2},4x=2k' \pi _-^+\frac{ 2\pi }{3} \Rightarrow x= \frac{2k \pi }{3} _-^+\frac{ \pi }{6},x= \frac{2k' \pi }{4} _-^+\frac{ \pi }{6}$

$\Rightarrow k=3a,k'=4b,a,b \in Z$(چرا؟) $\Rightarrow (k,k')=(3,4),(6,8),...$

$2)if:sin(3x)=-1,cos(60-4x)=1 \Rightarrow $(اثبات شبیه حالت قبل است)

تا اینجا مسأله بینهایت جواب دارد.از بین این جوابها آنهایی قابل قبولند که ریشه مخرج نیستند و این به $m$ بستگی دارد.

$ \Box $