معادله را با فرض $u \in Z$ حل میکنم.
$36m^2-12160m+1026169=u^2 \Rightarrow 36m^2-12154m-4m+1036169=u^2$
$ \Rightarrow (6m)^2-2.6m.1013^2+1013^2-4m=u^2 \Rightarrow (6m-1013)^2-4m=u^2$
$u^2<(6m-1013)^2 \Rightarrow |u|<|6m-1013|<143$(چرا؟)
از طرفی دیگر بنا به خاصیت سهمی می توان نشان داد که:
$u>140$(?)
از طرفی دیگر باید $u$ فرد باشد(چرا؟) بنابراین:
$u=141$
$36m^2-12160m+1036169=141^2=19881$
$36m^2-12160m+1016288=0 \Rightarrow m= \frac{1520^+_- \sqrt{5938} }{9} $
که طبیعی نیستند.لذا معادله فوق جواب ندارد.
$ \Box $
