اگر $m,n$ دو عدد صحیح باشند که $m \geq n$ بنا به قضیۀ تقسیم داریم:
$m=nq+r,q,r \in Z,0 \leq r< n,(m,n)=(n,r)$
حالا در اینجا داری:
$a^m-1=a^{nq+r}-1=a^r(a^{nq})-1=a^r(a^{nq})-a^r+a^r-1=a^r(a^{nq}-1)+(r^r-1)$
$=a^r((a^n)^q-1)+(a^r-1)=a^r(a^n-1)s+(a^r-1),0 \leq a^r-1< a^n-1$(چرا؟)
$ \Rightarrow (a^m-1,a^n-1)=(a^n-1,a^r-1)$
حالا اگر این رون را ادامه دهیم بعد از چند مرحله به باقیمانده صفر میرسیم و آخرین خارج قسمت همانا ب.م.م است یعنی:
$(m,n)=(n,r)=(r,t)=...=d$
$,(a^m-1,a^n-1)=(a^n-1,a^r-1)=...=(a^d-1)=(a^{(m,n)}-1)$
$ \Box $