$$ \phi:S_n×S_m \hookrightarrow S_{n+m} $$

Question

ثابت کنید در گروه های جایگشتی یک تکریختی چون $ \phi $ داریم که:

$$ \phi:S_n×S_m \hookrightarrow S_{n+m} $$

Answer 1

فرض کنید:

$ n,m,p \in N,p \geq n+m,\sigma \in S_n, \sigma' \in S_m$

حالا توجه کنید که اگر:

$ \sigma \times \sigma ':S_p \longrightarrow S_p$

$ (\sigma \times \sigma) '(1,2,...n,n+1,n+2,...,n+m,n+m+1,...p)$

$=( \sigma (1,2,...), \sigma '(n+1,n+2,...,n+m),I(n+m+1,...,p))$

$=( \sigma (1), \sigma (2),..., \sigma (n), \sigma '(n+1), \sigma '(n+2),..., \sigma '(n+m),n+m+1,...,p)$

آنگاه تابع زیر یک تکریختی (مونومورفیسم) (همریختی یک به یک) گروه هاست.(چرا؟)

$ \phi :S_n \times S_m \longrightarrow S_p$

$ \phi ( \sigma , \sigma ')= \sigma \times \sigma '$

پس $ \phi (S_n \times S_m) \leq S_p$ و در نتیجه:

$| \phi (S_n \times S_m) |||S_p| \Rightarrow n!.m!|p! \Rightarrow n!.m!|(n+m)!$

$ \Box $

Comments

درود بر شما آقای شبرنگ