کافیست ثابت کنیم برای $n \geq 5 $ زیرگروه $ A_{n} $ تنها زیرگروه نرمال $ S_{n} $ است و از آنجایی که $ S_{n}' $ یک زیرگروه نرمال است حکم نتیجه می شود.
فرض کنید $H $ یک زیر گروه نرمال و غیر بدیهی $ S_{n} $ باشد. اگر $ H \bigcap A_{n} \neq ((1)) $ آنگاه از آنجایی که $ H \bigcap A_{n} $ یک زیرگروه نرمال $ A_{n} $ است ولی $ A_{n} $ ساده است. پس $ A_{n} =H \bigcap A_{n} $ لذا $ A_{n} \subseteq H$
اما
$$2=[S_{n}:A_{n}]=[S_{n}:H][H:A_{n}] $$
چون $ S_{n} \neq H $ پس $ [S_{n}:H]=2 $ یعنی $ [H:A_{n}] =1 $ پس $ H = A_{n} $
حال فرض کنید $ H \bigcap A_{n} = ((1)) $ لذا
$$n!= \mid S_{n} \mid \geq \mid HS_{n} \mid = \frac{\mid H \mid \mid S_{n} \mid }{ \mid H \bigcap S_{n} \mid} = \mid H \mid \frac{n!}{2} $$
پس $\mid H \mid \leq 2$ وچون $ H \neq ((1))$ پس $\mid H \mid =2$. فرض کنید $ H=\{ (1), \alpha \} $ پس $ \mid \alpha \mid =2 $لذا $ \alpha $حاصلضربی از ترانهش های جدا از هم است. فرض کنید $(a,b) $ یکی از ترانهش ها باشد. آنگاه $(a,b,c) \alpha (a,b,c) ^{-1} $ عنصر $ b $ را به $ c $ میبرد لذا این عنصر در $ H $ نیست و این با نرمال بودن $ H$ در تناقض است.
اثبات برگرفته از کتاب مروری بر جبر مجرد از دکتر محمد نادر قصیری
