ثابت کنید $S_n' =A_n$ برای $n \geq 5$

Question

ثابت کنید که به ازای $n \geq 5$ داریم : $S_n'=A_n$ که در آن $S_n$ گروه متقارن روی n حرف و $A_n$ جایگشت های زوج $S_n$ میباشد.

Answer 1

کافیست ثابت کنیم برای $n \geq 5$ زیرگروه $A_{n}$ تنها زیرگروه نرمال $S_{n}$ است و از آنجایی که $S_{n}'$ یک زیرگروه نرمال است حکم نتیجه می شود.

فرض کنید $H$ یک زیر گروه نرمال و غیر بدیهی $S_{n}$ باشد. اگر $H \bigcap A_{n} \neq ((1))$ آنگاه از آنجایی که $H \bigcap A_{n}$ یک زیرگروه نرمال $A_{n}$ است ولی $A_{n}$ ساده است. پس $A_{n} =H \bigcap A_{n}$ لذا $A_{n} \subseteq H$ اما

$$2=[S_{n}:A_{n}]=[S_{n}:H][H:A_{n}]$$ چون $S_{n} \neq H$ پس $[S_{n}:H]=2$ یعنی $[H:A_{n}] =1$ پس $H = A_{n}$

حال فرض کنید $H \bigcap A_{n} = ((1))$ لذا

$$n!= \mid S_{n} \mid \geq \mid HS_{n} \mid = \frac{\mid H \mid \mid S_{n} \mid }{ \mid H \bigcap S_{n} \mid} = \mid H \mid \frac{n!}{2}$$

پس $\mid H \mid \leq 2$ وچون $H \neq ((1))$ پس $\mid H \mid =2$. فرض کنید $H=\{ (1), \alpha \}$ پس $\mid \alpha \mid =2$لذا $\alpha$حاصلضربی از ترانهش های جدا از هم است. فرض کنید $(a,b)$ یکی از ترانهش ها باشد. آنگاه $(a,b,c) \alpha (a,b,c) ^{-1}$ عنصر $b$ را به $c$ میبرد لذا این عنصر در $H$ نیست و این با نرمال بودن $H$ در تناقض است.

اثبات برگرفته از کتاب مروری بر جبر مجرد از دکتر محمد نادر قصیری