به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
سایت پرسش و پاسخ ریاضی
0 امتیاز
56 بازدید
در دانشگاه توسط ali9722
ویرایش شده توسط AmirHosein

$A_n$ها را یک دنباله از رویدادها در نظر بگیرید. تعریف کنید $$\limsup_{n\rightarrow\infty}A_n=\cap_{n=1}^\infty(\cup_{m=n}^\infty A_n)=\lim_{n\rightarrow\infty}(\cup_{m=n}^\infty A_m)$$ این رویداد را به صورت احتمالی اینگونه تعبیر می‌کنیم؛ $\limsup_{n\rightarrow\infty}$ = «$A_n$ بی‌نهایت‌بار مهمولا روی می‌دهد» (ترجمهٔ $A_n\text{ occurs infinitly often}$) که یعنی $A_n$ برای بینهایت اندیس $n$ روی‌دهد. آن را با $$A_n\; i.o.$$ به اختصار نشان می‌دهیم که $i.o.$ کوتاه‌شدهٔ $\text{infinitely often}$ است. ثابت کنید؛ $$P(A_n\;i.o.)\geq\limsup_{n\rightarrow\infty}P(A_n)$$

مرجع: کتاب Probability Essentials نوشتهٔ Jean Jacob و Philip Protter انتشارات Springer، سال ۲۰۰۲، صفحهٔ ۷۴، تمرین ۱۲ فصل ۱۰

2 پاسخ

+2 امتیاز
توسط AmirHosein
ویرایش شده توسط AmirHosein

از آنالیز حقیقی به یاد آورید که اگر $X$ یک مجموعه و $A_n$ها را یک دنباله از زیرمجموعه‌هایش باشند آنگاه تعریف می‌کنیم؛ $$\limsup_{n\rightarrow\infty}A_n=\cap_{n=1}^\infty\cup_{m=n}^\infty A_n$$

اکنون چیزی که شما باید ثابت کنید این است $$\limsup_{n\rightarrow\infty}P(A_n)\leq P(\limsup_{n\rightarrow\infty}A_n)$$

اما توجه کنید که $P$ یک اندازهٔ احتمالی است و در واقع حکم‌تان را در آنالیز حقیقی برای حالت کلی‌تر، یک اندازهٔ متناهی (نه الزاما احتمالی) نیز ثابت می‌کردیم. برای نمونه به بند (ب) تمرین ۱۵ بخش ۱۵ کتاب Principles of real analysis نوشتهٔ Aliprantis و Burkinshaw ویرایش سوم نگاه کنید.

0 امتیاز
قبل توسط kazomano

اول تعریف حد رو یاداوری میکنم

فرض کنیم $( A_{n}:n \in N) $ یک دنباله صعودی از زیرمجموعه های $X$ باشد

$$ \lim_{n\rightarrow \infty } A_{n}= \bigcup_{n \in N}^{} A_{n} $$

به صورت مشابه برای نزولی اجتماع به اشتراک تبدیل میشه.

حالا یه قضیه رو یادآوری میکنم

فرض کنیم $\mu$ یک اندازه روی یک سیگما جبر $ \pi $ از زیرمجموعه های $X$ باشد و $( A_{n}:n \in N) $ یک دنباله نزولی باشد آنگاه به شرطی که یک مجموعه $A \in \pi $ با $\mu(A)< \infty $ به طوری که $ A_{1} \subset A$ ان گاه

$$ \lim_{n \rightarrow \infty } \mu( A_{n} )=\mu( \lim_{n \rightarrow \infty } A_{n} )$$

حالا قضیه ای رو ثابت می کنیم که مسئله شما رو حل میکنه

فرض کنیم $\mu$ یک اندازه روی یک سیگما جبر $ \pi $ از زیرمجموعه های $X$ باشد اگر $A \in \pi $ با $\mu(A)< \infty $ به طوری که $ A_{n} \subset A$ برای $n \in N$ ان گاه $$\mu( \lim_{n \rightarrow \infty } sup A_{n} ) \geq \lim_{n \rightarrow \infty } sup\mu( A_{n} )$$

اثبات: طبق تعریف اول حد داریم

$$ \lim_{n \rightarrow \infty } sup A_{n}= \bigcap_{n\in N}^{} \bigcup_{k \geq n}^{}A_{k}= \lim_{n \rightarrow \infty } \bigcup_{k\geq n}^{} A_{k} $$

حال چون برای همه $n\in N$ داریم $ A_{n} \subset A$ بنابراین برای همه $n\in N$ داریم $ \bigcup_{k\geq n}^{} A_{k} \subset A$

بنابراین طبق قضیه ای که یادآوری کردیم داریم

$$\mu( \lim_{n \rightarrow \infty } sup A_{n} )=\mu(\lim_{n \rightarrow \infty } \bigcup_{k\geq n}^{} A_{k})= \lim_{n \rightarrow \infty } \mu( \bigcup_{k\geq n}^{} A_{k} )$$

حالا چون حد دنباله حد سوپ برابر است پس

$$\lim_{n \rightarrow \infty } \mu( \bigcup_{k\geq n}^{} A_{k} )=\lim_{n \rightarrow \infty }sup \mu( \bigcup_{k\geq n}^{} A_{k} )$$

از طرفی $ A_{n} \subset \bigcup_{k\geq n}^{} A_{k}$ پس $\mu( A_{n} ) \leq \mu(\bigcup_{k\geq n}^{} A_{k})$ بنابراین

$$\lim_{n \rightarrow \infty }sup \mu( \bigcup_{k\geq n}^{} A_{k} )\geq \lim_{n \rightarrow \infty }sup \mu( A_{n}) $$

پس حکم ثابت شده است.

حالا اندازه احتمال سوال شما شرایط قضیه رو داره پس مسئله شما حل شده.

حمایت مالی


کانال تلگرام محفل ریاضی
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود
...