ثابت کنید $\limsup_{n\rightarrow\infty}P(A_n)$ کران پائینی برای $P(\cap_{n=0}^\infty\cup_{m=n}^\infty A_n)$ است.

Question

$A_n$ها را یک دنباله از رویدادها در نظر بگیرید. تعریف کنید $$\limsup_{n\rightarrow\infty}A_n=\cap_{n=1}^\infty(\cup_{m=n}^\infty A_n)=\lim_{n\rightarrow\infty}(\cup_{m=n}^\infty A_m)$$ این رویداد را به صورت احتمالی اینگونه تعبیر می‌کنیم؛ $\limsup_{n\rightarrow\infty}$ = «$A_n$ بی‌نهایت‌بار مهمولا روی می‌دهد» (ترجمهٔ $A_n\text{ occurs infinitly often}$) که یعنی $A_n$ برای بینهایت اندیس $n$ روی‌دهد. آن را با $$A_n\; i.o.$$ به اختصار نشان می‌دهیم که $i.o.$ کوتاه‌شدهٔ $\text{infinitely often}$ است. ثابت کنید؛ $$P(A_n\;i.o.)\geq\limsup_{n\rightarrow\infty}P(A_n)$$

Answer 1

از آنالیز حقیقی به یاد آورید که اگر $X$ یک مجموعه و $A_n$ها را یک دنباله از زیرمجموعه‌هایش باشند آنگاه تعریف می‌کنیم؛ $$\limsup_{n\rightarrow\infty}A_n=\cap_{n=1}^\infty\cup_{m=n}^\infty A_n$$

اکنون چیزی که شما باید ثابت کنید این است $$\limsup_{n\rightarrow\infty}P(A_n)\leq P(\limsup_{n\rightarrow\infty}A_n)$$

اما توجه کنید که $P$ یک اندازهٔ احتمالی است و در واقع حکم‌تان را در آنالیز حقیقی برای حالت کلی‌تر، یک اندازهٔ متناهی (نه الزاما احتمالی) نیز ثابت می‌کردیم. برای نمونه به بند (ب) تمرین ۱۵ بخش ۱۵ کتاب Principles of real analysis نوشتهٔ Aliprantis و Burkinshaw ویرایش سوم نگاه کنید.

Answer 2

اول تعریف حد رو یاداوری میکنم

فرض کنیم $( A_{n}:n \in N) $ یک دنباله صعودی از زیرمجموعه های $X$ باشد

$$ \lim_{n\rightarrow \infty } A_{n}= \bigcup_{n \in N}^{} A_{n} $$

به صورت مشابه برای نزولی اجتماع به اشتراک تبدیل میشه.

حالا یه قضیه رو یادآوری میکنم

فرض کنیم $\mu$ یک اندازه روی یک سیگما جبر $ \pi $ از زیرمجموعه های $X$ باشد و $( A_{n}:n \in N) $ یک دنباله نزولی باشد آنگاه به شرطی که یک مجموعه $A \in \pi $ با $\mu(A)< \infty $ به طوری که $ A_{1} \subset A$ ان گاه

$$ \lim_{n \rightarrow \infty } \mu( A_{n} )=\mu( \lim_{n \rightarrow \infty } A_{n} )$$

حالا قضیه ای رو ثابت می کنیم که مسئله شما رو حل میکنه

فرض کنیم $\mu$ یک اندازه روی یک سیگما جبر $ \pi $ از زیرمجموعه های $X$ باشد اگر $A \in \pi $ با $\mu(A)< \infty $ به طوری که $ A_{n} \subset A$ برای $n \in N$ ان گاه $$\mu( \lim_{n \rightarrow \infty } sup A_{n} ) \geq \lim_{n \rightarrow \infty } sup\mu( A_{n} )$$

اثبات: طبق تعریف اول حد داریم

$$ \lim_{n \rightarrow \infty } sup A_{n}= \bigcap_{n\in N}^{} \bigcup_{k \geq n}^{}A_{k}= \lim_{n \rightarrow \infty } \bigcup_{k\geq n}^{} A_{k} $$

حال چون برای همه $n\in N$ داریم $ A_{n} \subset A$ بنابراین برای همه $n\in N$ داریم $ \bigcup_{k\geq n}^{} A_{k} \subset A$

بنابراین طبق قضیه ای که یادآوری کردیم داریم

$$\mu( \lim_{n \rightarrow \infty } sup A_{n} )=\mu(\lim_{n \rightarrow \infty } \bigcup_{k\geq n}^{} A_{k})= \lim_{n \rightarrow \infty } \mu( \bigcup_{k\geq n}^{} A_{k} )$$

حالا چون حد دنباله حد سوپ برابر است پس

$$\lim_{n \rightarrow \infty } \mu( \bigcup_{k\geq n}^{} A_{k} )=\lim_{n \rightarrow \infty }sup \mu( \bigcup_{k\geq n}^{} A_{k} )$$

از طرفی $ A_{n} \subset \bigcup_{k\geq n}^{} A_{k}$ پس $\mu( A_{n} ) \leq \mu(\bigcup_{k\geq n}^{} A_{k})$ بنابراین

$$\lim_{n \rightarrow \infty }sup \mu( \bigcup_{k\geq n}^{} A_{k} )\geq \lim_{n \rightarrow \infty }sup \mu( A_{n}) $$

پس حکم ثابت شده است.

حالا اندازه احتمال سوال شما شرایط قضیه رو داره پس مسئله شما حل شده.