فرض کنید:
$ n,m,p \in N,p \geq n+m,\sigma \in S_n, \sigma' \in S_m$
حالا توجه کنید که اگر:
$ \sigma \times \sigma ':S_p \longrightarrow S_p$
$ (\sigma \times \sigma) '(1,2,...n,n+1,n+2,...,n+m,n+m+1,...p)$
$=( \sigma (1,2,...), \sigma '(n+1,n+2,...,n+m),I(n+m+1,...,p))$
$=( \sigma (1), \sigma (2),..., \sigma (n), \sigma '(n+1), \sigma '(n+2),..., \sigma '(n+m),n+m+1,...,p)$
آنگاه تابع زیر یک تکریختی (مونومورفیسم) (همریختی یک به یک) گروه هاست.(چرا؟)
$ \phi :S_n \times S_m \longrightarrow S_p$
$ \phi ( \sigma , \sigma ')= \sigma \times \sigma '$
پس $ \phi (S_n \times S_m) \leq S_p$ و در نتیجه:
$| \phi (S_n \times S_m) |||S_p| \Rightarrow n!.m!|p! \Rightarrow n!.m!|(n+m)!$
$ \Box $
