واضح است که تابع در بازه های (- \infty ,0) و (1,+ \infty ) و ( \frac{1}{n+1} , \frac{1}{n} ),n \in N با تابع cos برابر است و چون تابع cos پیوسته است، f نیز پیوسته است.حالا می ماند نقاط {0} \ A \cup .
برای a=0 دنبالۀ a_n= \frac{1}{n} را در نظر بگیرید.این دنباله به 0 همگراست اما دنبالۀ f(a_n)=sin( \frac{1}{n} ) به 0 همگراست و f(0)=cos(0)=1 \neq 0.
حالا فرض کنید که m \in N دلخواه باشد و دنبالۀ a^m_n= \frac{1}{m} + \frac{ \sqrt{2} }{n} را در نظر بگیرید.این دنباله به \frac{1}{m} همگراست , f( \frac{1}{m})=sin( \frac{1}{m} ).
توجه کنید که:
\neg (a^m_n \in A) \Rightarrow f(a^m_n)=cos(a^m_n) \longrightarrow cos( \frac{1}{m} )
برای تکمیل استدلال کافیست نشان دهیم برای هر عدد طبیعی m:
sin( \frac{1}{m} ) \neq cos( \frac{1}{m} )
به کمک برهان خلف فرض کنید برای عددی طبیعی مانند m_0 داشته باشیم :
sin( \frac{1}{m_0} ) = cos( \frac{1}{m_0})
\frac{1}{m_0} \leq 1 < \frac{ \pi }{2} \Rightarrow \frac{1}{m_0} = \frac{ \pi }{4} \Rightarrow m_0= \frac{4}{ \pi } \bot
\Box
