واضح است که تابع در بازه های $(- \infty ,0)$ و $(1,+ \infty )$ و $( \frac{1}{n+1} , \frac{1}{n} ),n \in N$ با تابع $cos$ برابر است و چون تابع $cos$ پیوسته است، $f$ نیز پیوسته است.حالا می ماند نقاط$ ${0} $ \ A \cup $.
برای $a=0$ دنبالۀ $a_n= \frac{1}{n} $ را در نظر بگیرید.این دنباله به $0$ همگراست اما دنبالۀ $f(a_n)=sin( \frac{1}{n} )$ به $0$ همگراست و $f(0)=cos(0)=1 \neq 0$.
حالا فرض کنید که $m \in N$ دلخواه باشد و دنبالۀ $a^m_n= \frac{1}{m} + \frac{ \sqrt{2} }{n} $ را در نظر بگیرید.این دنباله به $ \frac{1}{m} $ همگراست , $f( \frac{1}{m})=sin( \frac{1}{m} )$.
توجه کنید که:
$ \neg (a^m_n \in A) \Rightarrow f(a^m_n)=cos(a^m_n) \longrightarrow cos( \frac{1}{m} )$
برای تکمیل استدلال کافیست نشان دهیم برای هر عدد طبیعی $m$:
$sin( \frac{1}{m} ) \neq cos( \frac{1}{m} )$
به کمک برهان خلف فرض کنید برای عددی طبیعی مانند $m_0$ داشته باشیم :
$sin( \frac{1}{m_0} ) = cos( \frac{1}{m_0})$
$\frac{1}{m_0} \leq 1 < \frac{ \pi }{2} \Rightarrow \frac{1}{m_0} = \frac{ \pi }{4} \Rightarrow m_0= \frac{4}{ \pi } \bot $
$ \Box $
