از ما خواسته شده است که رقم 1963 ام بعد از ممیز را در بسط اعشاری $(\sqrt{26}+5)^{1963}$ پیدا کنیم.
ابتدا مزدوج این عدد، یعنی $(\sqrt{26}-5)^{1963}$ را در نظر میگیریم.
با استفاده از قضیه دو جملهای، میتوانیم $(\sqrt{26}+5)^{1963}$ و $(\sqrt{26}-5)^{1963}$ را بسط دهیم:
$$(\sqrt{26}+5)^{1963} = \sum_{k=0}^{1963} \binom{1963}{k} (\sqrt{26})^k 5^{1963-k}$$
$$(\sqrt{26}-5)^{1963} = \sum_{k=0}^{1963} \binom{1963}{k} (\sqrt{26})^k (-5)^{1963-k}$$
حال اگر این دو عبارت را با هم جمع کنیم، خواهیم داشت:
$$(\sqrt{26}+5)^{1963} + (\sqrt{26}-5)^{1963} = \sum_{k=0}^{1963} \binom{1963}{k} (\sqrt{26})^k (5^{1963-k} + (-5)^{1963-k})$$
توجه کنید که وقتی $k$ فرد است، $5^{1963-k} + (-5)^{1963-k} = 0$. وقتی $k$ زوج است، $5^{1963-k} + (-5)^{1963-k} = 2 \cdot 5^{1963-k}$. بنابراین، مجموع به صورت زیر ساده میشود:
$$(\sqrt{26}+5)^{1963} + (\sqrt{26}-5)^{1963} = 2 \sum_{k=0, k \text{ زوج}}^{1963} \binom{1963}{k} (\sqrt{26})^k 5^{1963-k}$$
از آنجایی که $k$ زوج است، فرض کنید $k = 2j$. آنگاه $(\sqrt{26})^k = (\sqrt{26})^{2j} = 26^j$ که یک عدد صحیح است. بنابراین، کل عبارت یک عدد صحیح است. بیایید این عدد صحیح را $N$ بنامیم:
$$N = (\sqrt{26}+5)^{1963} + (\sqrt{26}-5)^{1963}$$
حال توجه کنید که $0 < \sqrt{26}-5 < 1$. به طور خاص، $\sqrt{26} \approx 5.099$، بنابراین $\sqrt{26} - 5 \approx 0.099$. در نتیجه، $0 < (\sqrt{26}-5)^{1963} < 1$. در واقع، $(\sqrt{26}-5)^{1963}$ یک عدد بسیار کوچک است.
میتوانیم معادله را به صورت زیر بازنویسی کنیم:
$$(\sqrt{26}+5)^{1963} = N - (\sqrt{26}-5)^{1963}$$
فرض کنید $x = (\sqrt{26}+5)^{1963}$ و $\epsilon = (\sqrt{26}-5)^{1963}$. آنگاه $x = N - \epsilon$، که در آن $N$ یک عدد صحیح و $0 < \epsilon < 1$ است.
قسمت اعشاری $x$ برابر با $1 - \epsilon$ است. از آنجایی که $\epsilon$ بسیار کوچک است، $1-\epsilon$ عددی کمی کوچکتر از 1 خواهد بود، به این معنی که بسط اعشاری آن با یک رشته طولانی از 9 ها شروع میشود.
از آنجایی که $\sqrt{26} - 5 \approx 0.099 < 0.1$، داریم $(\sqrt{26} - 5)^{1963} < (0.1)^{1963} = 10^{-1963}$. این بدان معناست که $\epsilon$ حداقل 1963 صفر بعد از ممیز دارد.
بنابراین، $1 - \epsilon$ حداقل 1963 عدد 9 بعد از ممیز خواهد داشت.
بنابراین، رقم 1963 ام بعد از ممیز در $(\sqrt{26}+5)^{1963}$ برابر با $\boxed{9}$ است.
