Question

در یک کلاس 62نفره 63صندلی وجود دارد که به صورت 7ردیف 9تایی گذاشته شده اند امروز صندلی وسط خالی است و بقیهٔ صندلی ها پر هستند فردا هر فرد می‌تواند فقط روی صندلی امروز یا مجاور صندلی امروز بنشیند کلا چند حالت برای نشستن دانش آموزان وجود دارد

Comments

@lamaan متن پرسش‌تان ناقص است.
بعلاوه دیدگاه گذاشته شده برای پرسش دیگرتان را نگاه کردهی‌اید؟ نباید اینطور فکر کنید که یک متنی را عجله‌ای بگذارید و وظیفهٔ دیگران است که ابتدا متن پرسش‌هایتان را ویرایش و با معنا کنند و سپس فرد دیگری هم پاسخ بگذارد و در نهایت شما تنها پاسخ نهایی را کپی کنید. بلکه باید در مشخص و معنای یکتا و واضح داشتن پرسش‌هایتان تلاش کنید. به فکر و تلاش خودتان برای حل مسأله حتی اگر اشتباه بوده‌باشند نیز اشاره کنید و به توصیه‌های ویرایشی گذاشته شده نیز توجه کنید.
https://math.irancircle.com/29572

Answer 1

در یک کلاس ۶۲ نفره، ۶۳ صندلی به صورت ۷ ردیف ۹ تایی چیده شده‌اند. امروز، صندلی وسط خالی است و بقیه صندلی‌ها توسط دانش‌آموزان پر شده‌اند. فردا، هر دانش‌آموز می‌تواند فقط روی صندلی امروز خود یا صندلی مجاور آن بنشیند. می‌خواهیم بدانیم کلاً چند حالت برای نشستن دانش‌آموزان وجود دارد.

ابتدا، آرایش صندلی‌ها را با مختصات $(r, c)$ نشان می‌دهیم، که در آن $1 \le r \le 7$ (شماره ردیف) و $1 \le c \le 9$ (شماره ستون) است. صندلی وسط در موقعیت $(4, 5)$ قرار دارد. در روز اول، این صندلی خالی است و ۶۲ صندلی دیگر توسط ۶۲ دانش‌آموز اشغال شده‌اند.

در روز دوم، هر دانش‌آموز فقط می‌تواند روی صندلی فعلی خود یا یک صندلی مجاور (به صورت افقی یا عمودی) بنشیند. صندلی خالی در روز اول در موقعیت $(4, 5)$ قرار دارد.

حرکت صندلی خالی را در نظر می‌گیریم. صندلی خالی باید به صندلی‌ای منتقل شود که در روز اول اشغال شده بود. موقعیت جدید صندلی خالی باید مجاور موقعیت آن در روز اول باشد. صندلی‌های مجاور $(4, 5)$ عبارتند از: $(3, 5)، (5, 5)، (4, 4)$ و $(4, 6)$.

حالت اول: صندلی خالی به $(3, 5)$ منتقل شود. برای این اتفاق، دانش‌آموزی که در ابتدا در $(3, 5)$ نشسته بود، باید به $(4, 5)$ منتقل شود. بقیه دانش‌آموزان در موقعیت‌های اصلی خود باقی می‌مانند.

حالت دوم: صندلی خالی به $(5, 5)$ منتقل شود. دانش‌آموزی که در ابتدا در $(5, 5)$ نشسته بود، به $(4, 5)$ منتقل می‌شود.

حالت سوم: صندلی خالی به $(4, 4)$ منتقل شود. دانش‌آموزی که در ابتدا در $(4, 4)$ نشسته بود، به $(4, 5)$ منتقل می‌شود.

حالت چهارم: صندلی خالی به $(4, 6)$ منتقل شود. دانش‌آموزی که در ابتدا در $(4, 6)$ نشسته بود، به $(4, 5)$ منتقل می‌شود.

در هر حالت، دقیقاً یک دانش‌آموز به صندلی‌ای منتقل می‌شود که قبلاً خالی بوده است، و صندلی خالی به صندلی‌ای منتقل می‌شود که قبلاً توسط آن دانش‌آموز اشغال شده بود. بقیه دانش‌آموزان در موقعیت‌های خود باقی می‌مانند.

تعداد آرایش‌های ممکن در روز دوم، متناظر با تعداد حرکات ممکن برای صندلی خالی است. صندلی خالی می‌تواند به هر یک از صندلی‌های مجاور اشغال شده منتقل شود. صندلی‌های مجاور صندلی خالی در $(4, 5)$ عبارتند از $(3, 5)، (5, 5)، (4, 4)$ و $(4, 6)$. همه این صندلی‌ها در روز اول اشغال شده بودند.

۴ صندلی ممکن وجود دارد که صندلی خالی می‌تواند در روز دوم به آن منتقل شود. هر یک از این حرکات منجر به یک آرایش معتبر از دانش‌آموزان می‌شود.

پاسخ نهایی: پاسخ نهایی ۴ است.

Comments

ممنون ولی عدد چهار خیلی کم نیست؟ خوب بقیهٔ دانش آموزان هم می‌توانند صندلی هایشان را جا به جا کنند مثلاً ممکن است در حالت اول دانش آموز(۲,۵)روی صندلی (۳,۵)بنشیند

Answer 2

1. انتخاب دانش‌آموزی که به صندلی خالی می‌رود: ابتدا باید مشخص کنیم کدام یک از 4 دانش‌آموزی که در صندلی‌های مجاور صندلی خالی نشسته‌اند، به صندلی خالی منتقل می‌شود. 4 انتخاب وجود دارد.

2. جابجایی بقیه دانش‌آموزان: بعد از اینکه یک دانش‌آموز به صندلی خالی رفت، یک صندلی جدید خالی می‌شود. 61 دانش‌آموز باقی‌مانده باید در 61 صندلی باقی‌مانده بنشینند. هر دانش‌آموز می‌تواند به صندلی فعلی خود یا صندلی مجاورش برود.

محاسبه تعداد حالات:

• انتخاب دانش‌آموز برای صندلی خالی: 4 حالت
• جابجایی بقیه دانش‌آموزان: محاسبه دقیق این قسمت پیچیده است. به جای محاسبه مستقیم، به این فکر کنیم که موقعیت صندلی خالی جدید چگونه تعیین می‌شود.

به جای اینکه به حرکت تک تک دانش‌آموزان فکر کنیم، به موقعیت صندلی خالی جدید توجه کنیم. صندلی خالی جدید باید یکی از صندلی‌هایی باشد که قبلاً پر بوده و دانش‌آموز آن به صندلی خالی قبلی رفته است.

• صندلی خالی قبلی در موقعیت وسط (4, 5) قرار دارد.
• صندلی‌های مجاور آن که پر بودند عبارتند از: (3, 5)، (5, 5)، (4, 4)، (4, 6).

اگر دانش‌آموزی که در (3, 5) نشسته بود به (4, 5) برود، صندلی (3, 5) خالی می‌شود. اگر دانش‌آموزی که در (5, 5) نشسته بود به (4, 5) برود، صندلی (5, 5) خالی می‌شود. اگر دانش‌آموزی که در (4, 4) نشسته بود به (4, 5) برود، صندلی (4, 4) خالی می‌شود. اگر دانش‌آموزی که در (4, 6) نشسته بود به (4, 5) برود، صندلی (4, 6) خالی می‌شود.

بنابراین، صندلی خالی جدید می‌تواند در 4 موقعیت مختلف قرار بگیرد.

حالات نشستن بقیه دانش‌آموزان:

برای هر یک از این 4 حالت صندلی خالی، بقیه 61 دانش‌آموز باید در 61 صندلی باقی‌مانده بنشینند. این جابجایی‌ها مستقل از موقعیت صندلی خالی جدید هستند.

نکته مهم: سوال از تعداد حالات نشستن می‌پرسد، نه تعداد روش‌های رسیدن به آن حالات. وقتی صندلی خالی جدید مشخص شد، موقعیت بقیه دانش‌آموزان نیز مشخص می‌شود (با توجه به محدودیت حرکت به صندلی فعلی یا مجاور).

نتیجه‌گیری:

تعداد حالات برای نشستن دانش‌آموزان برابر است با تعداد موقعیت‌های ممکن برای صندلی خالی جدید. از آنجایی که صندلی خالی جدید می‌تواند در 4 موقعیت مجاور صندلی خالی قبلی قرار بگیرد، 4 حالت برای نشستن دانش‌آموزان وجود دارد.

دلیل اینکه عدد 4 کم به نظر می‌رسد این است که ما فقط به موقعیت صندلی خالی توجه می‌کنیم. جابجایی‌های داخلی بقیه دانش‌آموزان، با توجه به موقعیت صندلی خالی جدید، به طور خودکار تعیین می‌شوند.

بنابراین، پاسخ نهایی همچنان 4 است. در واقع، سؤال به دنبال تعداد حالات نهایی با یک صندلی خالی است، و این حالات با موقعیت صندلی خالی مشخص می‌شوند.

Answer 3

با توجه به مسئله مطرح شده، یک کلاس درس با 62 دانش‌آموز و 63 صندلی را در نظر می‌گیریم که در یک شبکه‌ی 7x9 چیده شده‌اند. صندلی وسط کلاس خالی است و بقیه‌ی دانش‌آموزان در جای خود نشسته‌اند. در روز بعد، هر دانش‌آموز می‌تواند در جای خود باقی بماند و یا به یکی از صندلی‌های مجاور (بالا، پایین، چپ یا راست) جابجا شود. هدف ما محاسبه‌ی تعداد کل چیدمان‌های ممکن برای نشستن دانش‌آموزان در روز بعد است.

با توجه به اینکه صندلی وسط در ردیف 4 و ستون 5 قرار دارد، 4 دانش‌آموز در صندلی‌های مجاور آن (3,5)، (4,4)، (4,6) و (5,5) قرار دارند. هر کدام از این 4 دانش‌آموز دو انتخاب دارند: یا در جای خود باقی بمانند و یا به صندلی خالی وسط (4,5) بروند.

در این حالت 5 حالت کلی خواهیم داشت:

1. هیچ کدام از 4 دانش‌آموز جابجا نشوند. در این حالت بقیه‌ی دانش‌آموزان نیز در جای خود باقی می‌مانند و این 1 حالت برای چیدمان خواهد بود.
2. یکی از 4 دانش‌آموز به صندلی خالی وسط برود. در این حالت صندلی قبلی این دانش‌آموز خالی می‌شود، اما طبق صورت مسئله، دانش‌آموزان دیگر فقط می‌توانند در جای خود و یا صندلی‌های مجاور جابجا شوند. از آنجایی که صندلی خالی شده، مجاور صندلی خالی وسط نیست، هیچ دانش‌آموز دیگری نمی‌تواند به آن صندلی برود. پس در این حالت 4 حالت مختلف برای جابجایی (هر کدام از 4 دانش‌آموز به نوبت به صندلی خالی بروند) خواهیم داشت.

با توجه به توضیحات بالا، در مجموع 1 + 4 = 5 حالت مختلف برای چیدمان صندلی‌ها در روز بعد وجود خواهد داشت.

بنابراین، در مجموع 5 چیدمان ممکن برای نشستن دانش‌آموزان در روز بعد وجود دارد.

Answer 4

در یک کلاس ۶۲‌نفره با ۶۳ صندلی چیده‌شده به‌صورت ۷ ردیف ۹‌تایی، امروز صندلی وسط (ردیف چهارم، ستون پنجم) خالی است و بقیه پر هستند. فردا هر دانش‌آموز فقط می‌تواند روی صندلی امروز یا یکی از صندلی‌های مجاور (بالا، پایین، چپ، راست) بنشیند. صندلی خالی فردا باید در یکی از ۵ حالت زیر باشد:
۱. همان موقعیت فعلی (وسط)،
۲. بالا (ردیف ۳، ستون ۵)،
۳. پایین (ردیف ۵، ستون ۵)،
۴. چپ (ردیف ۴، ستون ۴)،
۵. راست (ردیف ۴، ستون ۶).

از آنجا که جابجایی صندلی خالی به هر یک از این موقعیت‌ها تنها با حرکت یک دانش‌آموز از همسایه‌های مستقیم آن ممکن است، و سایر دانش‌آموزان نمی‌توانند صندلی‌های خالی جدید ایجاد کنند، تنها همین ۵ حالت مجاز هستند.

Answer 5

در یک کلاس با ۶۳ صندلی (چیده‌شده به‌صورت ۷ ردیف و ۹ ستون)، امروز صندلی وسط (ردیف ۴، ستون ۵) خالی است و ۶۲ دانش‌آموز روی بقیه صندلی‌ها نشسته‌اند. فردا هر دانش‌آموز فقط می‌تواند روی صندلی فعلی خود یا یکی از صندلی‌های مجاور مستقیم (بالا، پایین، چپ، راست) بنشیند. برای تعیین تعداد حالت‌های ممکن، باید تحرک صندلی خالی را بررسی کنیم:

تحلیل حرکات صندلی خالی:

۱. صندلی خالی ثابت بماند (ردیف ۴، ستون ۵):
هیچ دانش‌آموزی از همسایه‌های مستقیم صندلی خالی به آن نقل‌مکان نمی‌کند.

۲. صندلی خالی به بالا منتقل شود (ردیف ۳، ستون ۵):
دانش‌آموز ردیف ۳، ستون ۵ باید به صندلی خالی فعلی (ردیف ۴، ستون ۵) نقل‌مکان کند.

۳. صندلی خالی به پایین منتقل شود (ردیف ۵، ستون ۵):
دانش‌آموز ردیف ۵، ستون ۵ باید به صندلی خالی فعلی نقل‌مکان کند.

۴. صندلی خالی به چپ منتقل شود (ردیف ۴، ستون ۴):
دانش‌آموز ردیف ۴، ستون ۴ باید به صندلی خالی فعلی نقل‌مکان کند.

۵. صندلی خالی به راست منتقل شود (ردیف ۴، ستون ۶):
دانش‌آموز ردیف ۴، ستون ۶ باید به صندلی خالی فعلی نقل‌مکان کند.

محدودیت‌های کلیدی:

• فقط یک صندلی خالی مجاز است: اگر دانش‌آموزی غیر از همسایه‌های مستقیم صندلی خالی حرکت کند، صندلی خالی جدیدی ایجاد می‌شود که غیرمجاز است.
• حرکت سایر دانش‌آموزان ممنوع است: دانش‌آموزان غیرهمسایه نمی‌توانند جابجا شوند، زیرا این کار یا صندلی خالی جدیدی ایجاد می‌کند یا نیاز به نقض قوانین مجاورت دارد.

بنابراین، تنها ۵ حالت ممکن برای صندلی خالی فردا وجود دارد که هر کدام متناظر با حرکت (یا عدم حرکت) یک دانش‌آموز همسایه است. سایر حالت‌ها به دلیل ایجاد صندلی‌های خالی اضافی یا نقض قید مجاورت، غیرممکن هستند.