تعریف نیم پیوستگی پایینی:
یک تابع $f: X \to \mathbb{R} \cup \{-\infty, +\infty\}$ در نقطه $x_0 \in X$ نیم پیوسته پایینی است اگر برای هر $\epsilon > 0$، یک همسایگی $U$ از $x_0$ وجود داشته باشد به طوری که برای هر $x \in U$:
$f(x) > f(x_0) - \epsilon$
اثبات:
فرض کنید $\{f_\alpha\}_{\alpha \in A}$ یک خانواده از توابع نیم پیوسته پایینی از فضای توپولوژی $X$ به $\mathbb{R} \cup \{-\infty, +\infty\}$ باشد. تابع سوپریمم این خانواده را با $f(x) = \sup_{\alpha \in A} f_\alpha(x)$ نشان میدهیم. میخواهیم نشان دهیم که $f$ نیز نیم پیوسته پایینی است.
برای این منظور، یک نقطه دلخواه $x_0 \in X$ و یک $\epsilon > 0$ دلخواه را در نظر میگیریم. میخواهیم نشان دهیم که یک همسایگی $U$ از $x_0$ وجود دارد به طوری که برای هر $x \in U$:
$f(x) > f(x_0) - \epsilon$
حالات مختلف برای مقدار $f(x_0)$ را بررسی میکنیم:
حالت اول: $f(x_0) = -\infty$
در این حالت، نامساوی $f(x) > f(x_0) - \epsilon$ به صورت $f(x) > -\infty - \epsilon$ در میآید که همیشه برقرار است، زیرا مقادیر توابع $f_\alpha$ و در نتیجه $f(x)$ همواره بزرگتر از $-\infty$ هستند. بنابراین، هر همسایگی $U$ از $x_0$ این شرط را برآورده میکند.
حالت دوم: $f(x_0) \in \mathbb{R}$
از تعریف سوپریمم، میدانیم که برای هر $\epsilon > 0$، یک اندیس $\alpha_0 \in A$ وجود دارد به طوری که:
$f_{\alpha_0}(x_0) > f(x_0) - \epsilon$
از آنجایی که $f_{\alpha_0}$ نیم پیوسته پایینی در $x_0$ است، برای همین $\epsilon > 0$، یک همسایگی $U$ از $x_0$ وجود دارد به طوری که برای هر $x \in U$:
$f_{\alpha_0}(x) > f_{\alpha_0}(x_0) - \frac{\epsilon}{2}$
با ترکیب این دو نامساوی، برای هر $x \in U$ داریم:
$f(x) = \sup_{\alpha \in A} f_\alpha(x) \ge f_{\alpha_0}(x) > f_{\alpha_0}(x_0) - \frac{\epsilon}{2} > (f(x_0) - \epsilon) - \frac{\epsilon}{2} = f(x_0) - \frac{3\epsilon}{2}$
اگرچه به نامساوی دقیق مورد نظر نرسیدیم، میتوانیم کمی دقیقتر عمل کنیم. به جای $\frac{\epsilon}{2}$ در تعریف نیم پیوستگی $f_{\alpha_0}$، میتوانیم از $\delta = f_{\alpha_0}(x_0) - (f(x_0) - \epsilon)$ استفاده کنیم. از آنجایی که $f_{\alpha_0}(x_0) > f(x_0) - \epsilon$، داریم $\delta > 0$.
حال، با توجه به نیم پیوستگی پایینی $f_{\alpha_0}$ در $x_0$، برای این $\delta > 0$، یک همسایگی $U$ از $x_0$ وجود دارد به طوری که برای هر $x \in U$:
$f_{\alpha_0}(x) > f_{\alpha_0}(x_0) - \delta$
با جایگذاری مقدار $\delta$:
$f_{\alpha_0}(x) > f_{\alpha_0}(x_0) - (f_{\alpha_0}(x_0) - f(x_0) + \epsilon) = f(x_0) - \epsilon$
از آنجایی که $f(x) = \sup_{\alpha \in A} f_\alpha(x) \ge f_{\alpha_0}(x)$، برای هر $x \in U$ داریم:
$f(x) \ge f_{\alpha_0}(x) > f(x_0) - \epsilon$
بنابراین، $f(x) > f(x_0) - \epsilon$.
حالت سوم: $f(x_0) = +\infty$
در این حالت، برای هر $M \in \mathbb{R}$، یک اندیس $\alpha_0 \in A$ وجود دارد به طوری که:
$f_{\alpha_0}(x_0) > M$
از آنجایی که $f_{\alpha_0}$ نیم پیوسته پایینی در $x_0$ است، برای $\epsilon = 1$ (یا هر عدد مثبت دلخواه دیگر)، یک همسایگی $U$ از $x_0$ وجود دارد به طوری که برای هر $x \in U$:
$f_{\alpha_0}(x) > f_{\alpha_0}(x_0) - 1$
بنابراین، برای هر $x \in U$:
$f(x) = \sup_{\alpha \in A} f_\alpha(x) \ge f_{\alpha_0}(x) > f_{\alpha_0}(x_0) - 1 > M - 1$
این نشان میدهد که در همسایگی $U$، مقدار $f(x)$ میتواند به طور دلخواه بزرگ باشد. برای نشان دادن دقیقتر با تعریف، برای هر $N \in \mathbb{R}$، میخواهیم نشان دهیم که یک همسایگی $U$ وجود دارد که برای هر $x \in U$, $f(x) > N$.
از آنجایی که $f(x_0) = \sup_{\alpha \in A} f_\alpha(x_0) = +\infty$, برای $N+1$, یک اندیس $\alpha_0$ وجود دارد که $f_{\alpha_0}(x_0) > N+1$. از آنجایی که $f_{\alpha_0}$ نیم پیوسته پایینی است، یک همسایگی $U$ از $x_0$ وجود دارد که برای هر $x \in U$, $f_{\alpha_0}(x) > f_{\alpha_0}(x_0) - 1 > (N+1) - 1 = N$.
بنابراین، برای هر $x \in U$, $f(x) = \sup_{\alpha \in A} f_\alpha(x) \ge f_{\alpha_0}(x) > N$.
نتیجهگیری:
در هر سه حالت، نشان دادیم که برای هر نقطه $x_0 \in X$ و هر $\epsilon > 0$، یک همسایگی $U$ از $x_0$ وجود دارد به طوری که برای هر $x \in U$, $f(x) > f(x_0) - \epsilon$. بنابراین، تابع سوپریمم $f(x) = \sup_{\alpha \in A} f_\alpha(x)$ نیم پیوسته پایینی است.
