برای اثبات اینکه سطح یک مکعب را نمیتوان با ۲۳ موزاییک مستطیلشکل یکسان فرش کرد (حتی اگر اجازه خم شدن روی یالها داشته باشیم)، از چند اصل کلیدی هندسی و عددی استفاده میکنیم:
مرحله ۱: محاسبه سطح مکعب
سطح یک مکعب با ضلع
$a$
برابر است با:
$
S = 6a^2
$
مرحله ۲: تعریف موزاییکها
فرض کنید هر موزاییک مستطیلی، ابعاد
$m \times n $
دارد و مساحت آن برابر است با:
$
A = mn
$
اگر بخواهیم سطح مکعب را با ۲۳ موزاییک یکسان بپوشانیم، باید داشته باشیم:
$
6a^2 = 23mn
$
یعنی مساحت کل مکعب باید مضرب ۲۳ باشد. اما این معادله نکته مهمی دارد:
مرحله ۳: ناسازگاری عددی
عدد ۲۳ یک عدد اول است. بنابراین اگر
$mn$
عدد صحیح باشد، آنگاه
$ 6a^2 $
باید مضرب ۲۳ باشد.
اما:
$a $
عدد صحیح است
⇒
$a^2$
عدد صحیح است
⇒
$ 6a^2$
عدد صحیح است.
$6a^2$
مضرب ۲۳ باشد، باید
$a^2 $
مضرب ۲۳ باشد
⇒
یعنی
$a$
خودش مضرب
$\sqrt{23}$
باشد.
- اما
$\sqrt{23}$
عدد گنگ است
⇒
پس
$ a$
نمیتواند عدد صحیح باشد.
تناقض: از یک طرف فرض کردیم
$a $
عدد صحیح است (چون مکعب واقعی است)، از طرف دیگر برای اینکه معادله برقرار باشد، باید
$a $
عدد گنگ باشد. این تناقض نشان میدهد که چنین فرشی ممکن نیست.
مرحله ۴: نتیجهگیری
از آنجا که:
$6a^2 $
است،
- و تعداد موزاییکها برابر ۲۳ است (عدد اول)،
- و موزاییکها باید مستطیلهای یکسان باشند با مساحت
$mn $
- و هیچ عدد صحیحی برای
$ a $
وجود ندارد که
$6a^2 $
مضرب ۲۳ باشد،
بنابراین فرش کردن سطح مکعب با ۲۳ موزاییک مستطیلشکل یکسان ممکن نیست — حتی اگر اجازه خم شدن روی یالها داشته باشیم.
