Question

حاصل عبارت $ \sum _{k=1} ^{n}k \binom{n}{k} $ ، کدام است؟ (چند روش برای حل وجود دارد؟)

1. $ n2 ^{n-1} $
2. $ n2 ^{n} $
3. $ (n-1)2 ^{n-1} $
4. $ (n-1)2 ^{n} $

Answer 1

$ \binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}= \frac{n(n-1)!}{k(k-1)!((n-1)-(k-1))!}= \frac{n}{k} \binom{n-1}{k-1} \Rightarrow k\binom{n}{k} =n\binom{n-1}{k-1} \Rightarrow $

$$\sum _{k=1}^nk \binom{n}{k}=\sum _{k=1}^{n-1}k \binom{n}{k}+ n\binom{n}{n} =\sum _{k=1}^{n-1}n \binom{n-1}{k-1}+n$$

$$=n\sum _{k=1}^{n-1} \binom{n-1}{k-1}+n=n\sum _{k=0}^{n-2} \binom{n-1}{k}+n$$

$$=n\sum _{k=0}^{n-1} \binom{n-1}{k}-n \binom{n-1}{n-1} +n$$

$$=n\sum _{k=0}^{n-1} \binom{n-1}{k}1^k.1^{n-k}-n+n=n(1+1)^{n-1}-n+n=n2^{n-1}$$

روش دوم:

$(x+1)^n=\sum _{k=0}^n\binom{n}{k}x^k.1^{n-k}=\sum _{k=1}^n\binom{n}{k}x^k+1 $

$\Rightarrow \sum _{k=1}^n\binom{n}{k}x^k=(x+1)^n-1$

حالا اگر از طرفین مشتق بگیریم و طرفین را در $x$ ضرب کنیم داریم:

$\sum _{k=1}^nk\binom{n}{k}x^{k-1}=n(x+1)^{n-1}+0 \Rightarrow \sum _{k=1}^nk\binom{n}{k}x^k=nx(x+1)^{n-1}$

حالا قرار دهید $x=1$ بنابراین:

$\Rightarrow \sum _{k=1}^nk\binom{n}{k}=\sum _{k=1}^nk\binom{n}{k}1^k=n.1(1+1)^{n-1}=n2^{n-1}$

$ \Box $