$$2^x=y^2-2x^2 \in Z \Rightarrow x \in W$$
به سادگی می توان نشان داد که:
$$(x,y)=(0,-1),(0,1),(1,-2),(1,-2)$$
جوابهای معادله هستند.حالا توجه کنید که برای $x=2,4$ عبارت $2^x+2x^2$ مربع کامل نیست و برای اعداد زوج بزرگتر از $6$ به به صورت $x=2k$ داریم:
$$(2^k)^2<2^{2k}+2(2k)^2<(2^k+1)^2$$
پس اگر $x \geq 2$ زوج باشد، معادله جواب ندارد.حالا اگر $x=2k+1>1$ آنگاه به راحتی می توان نشان داد که:
$$2||2^x+2x^2$$
یعنی بزرگترین توانی از $2$ که $2^x+2x^2$ را میشمارد مساوی $1$ است.پس در تجزیۀ $2^x+2x^2$ به عامل های اول توان $2$ مساوی $1$ است و این یعنی $2^x+2x^2$ مربع کامل نیست.
بنابر این معادله فقط چهار جواب دارد.
$ \Box $
