مسئله:
فرض کنید مجموعه جوابهای نامعادلهی زیر فقط یک بازه باشد. مقدار $m$ چقدر است؟
$$ \frac{((m^2 - 1)x^2 - 4mx + 4)(2x - 3)}{x - 3\sqrt{x} + 2} \geq 0 $$
مراحل حل:
1. تعیین دامنه نامعادله
- به دلیل وجود رادیکال ($\sqrt{x}$)، باید $x \geq 0$ باشد.
- مخرج کسر نباید صفر باشد. پس باید ریشههای مخرج را پیدا کنیم.
$$ x - 3\sqrt{x} + 2 = 0 $$
با تغییر متغیر $t = \sqrt{x}$ (که $t \geq 0$ است)، معادله به صورت یک معادله درجه دو در میآید:
$$ t^2 - 3t + 2 = 0 $$
با تجزیه این عبارت داریم:
$$ (t - 1)(t - 2) = 0 $$
بنابراین ریشهها $t=1$ و $t=2$ هستند.
حالا به متغیر اصلی برمیگردیم:
پس دامنه تعریف نامعادله به صورت $D = [0, +\infty) - \{1, 4\}$ است.
2. تجزیه و سادهسازی عبارت
مخرج کسر را میتوان به صورت $ ( \sqrt{x} - 1)(\sqrt{x} - 2) $ نوشت.
پس نامعادله به شکل زیر درمیآید:
$$ \frac{((m^2 - 1)x^2 - 4mx + 4)(2x - 3)}{(\sqrt{x} - 1)(\sqrt{x} - 2)} \geq 0 $$
3. بررسی حالت خاص
مسئله بیان کرده که مجموعه جواب باید فقط یک بازه باشد. این معمولاً در حالتهای خاصی رخ میدهد. یک حالت بسیار مهم، زمانی است که ضریب بالاترین درجه (اینجا $x^2$) صفر شود.
بیایید این حالت را بررسی کنیم:
$$ m^2 - 1 = 0 \implies m = 1 \quad \text{یا} \quad m = -1 $$
اگر $m=1$ باشد، عبارت درجه دو در صورت کسر به یک عبارت خطی تبدیل میشود:
$$ P(x) = (1^2 - 1)x^2 - 4(1)x + 4 = 0x^2 - 4x + 4 = -4x + 4 = 4(1-x) $$
حالا این عبارت را در نامعادله جایگزین میکنیم:
$$ \frac{4(1 - x)(2x - 3)}{(\sqrt{x} - 1)(\sqrt{x} - 2)} \geq 0 $$
میدانیم که $1 - x = -(x - 1)$ و $x - 1 = (\sqrt{x} - 1)(\sqrt{x} + 1)$. پس:
$$ 1 - x = -(\sqrt{x} - 1)(\sqrt{x} + 1) $$
با جایگذاری در نامعادله:
$$ \frac{4 \cdot [-(\sqrt{x} - 1)(\sqrt{x} + 1)](2x - 3)}{(\sqrt{x} - 1)(\sqrt{x} - 2)} \geq 0 $$
چون $x \neq 1$، میتوانیم عامل $(\sqrt{x}-1)$ را از صورت و مخرج ساده کنیم:
$$ \frac{-4(\sqrt{x} + 1)(2x - 3)}{\sqrt{x} - 2} \geq 0 $$
عبارت $(\sqrt{x} + 1)$ در دامنه تعریف همیشه مثبت است و عدد $-4$ منفی است. پس میتوانیم طرفین نامعادله را بر $-4(\sqrt{x} + 1)$ تقسیم کنیم و جهت نامساوی را برعکس کنیم:
$$ \frac{2x - 3}{\sqrt{x} - 2} \leq 0 $$
برای حل این نامعادله، جدول تعیین علامت تشکیل میدهیم. ریشهها $x = 3/2$ و $x = 4$ هستند.
| بازه |
$2x-3$ |
$\sqrt{x}-2$ |
$\frac{2x - 3}{\sqrt{x} - 2}$ |
| $[0, 3/2)$ |
$-$ |
$-$ |
$+$ |
| $(3/2, 4)$ |
$+$ |
$-$ |
$-$ |
| $(4, +\infty)$ |
$+$ |
$+$ |
$+$ |
مجموعه جواب، جایی است که عبارت کوچکتر یا مساوی صفر باشد. پس جواب بازهی $[3/2, 4)$ است.
این مجموعه جواب یک بازه است، پس $m=1$ یک جواب قابل قبول است.
اگر $m=-1$ باشد، عبارت درجه دو در صورت کسر:
$$ P(x) = ((-1)^2 - 1)x^2 - 4(-1)x + 4 = 0x^2 + 4x + 4 = 4(x+1) $$
نامعادله به شکل زیر درمیآید:
$$ \frac{4(x + 1)(2x - 3)}{(\sqrt{x} - 1)(\sqrt{x} - 2)} \geq 0 $$
چون در دامنه $x \geq 0$ است، عبارت $4(x+1)$ همیشه مثبت است. پس میتوانیم آن را از نامعادله حذف کنیم:
$$ \frac{2x - 3}{(\sqrt{x} - 1)(\sqrt{x} - 2)} \geq 0 $$
با تعیین علامت این عبارت، مجموعه جواب به صورت $(1, 3/2] \cup (4, +\infty)$ خواهد بود که دو بازه است و قابل قبول نیست.
نتیجهگیری نهایی
تنها مقداری از $m$ که باعث میشود مجموعه جواب نامعادله یک بازه باشد، $m=1$ است.
پاسخ:
مقدار $m$ برابر $1$ است.
