۱. معرفی نمادها و روابط پایه
در مثلث
$ABC $
با ضلعهای مرسوم
$
a = BC,\quad b = CA,\quad c = AB
$
نقطه
$H$
؛ هممرکز ارتفاعهاست.
طبق رابطه معروف فاصلهٔ رأس از هوردا، داریم
$
BH = 2R\cos B,\quad b = 2R\sin B
$
که
$R$
شعاع محیطدایرهٔ محیطی مثلث است.
۲. جایگذاری در رابطهٔ دادهشده
رابطهٔ مسأله را مینویسیم:
$
AC^2 + BH^2 = 2\,BC^2
\quad\Longrightarrow\quad
b^2 + (2R\cos B)^2 = 2a^2.
$
از آنجا که
$b=2R\sin B$
خواهیم داشت:
$
b^2 + 4R^2\cos^2 B
=4R^2\sin^2 B + 4R^2\cos^2 B
=4R^2(\sin^2 B + \cos^2 B)
=4R^2.
$
بنابراین
$
4R^2 = 2a^2
\quad\Longrightarrow\quad
a^2 = 2R^2.
$
۳. نتیجهگیری نهایی
از قانون سینوس:
$
a = 2R\sin A
\quad\Longrightarrow\quad
(2R\sin A)^2 = 2R^2
\;\Longrightarrow\;
4R^2\sin^2 A = 2R^2
\;\Longrightarrow\;
\sin^2 A = \tfrac12.
$
در مثلث حاده، (\sin A>0)، پس
$
\sin A = \tfrac{1}{\sqrt2}
\quad\Longrightarrow\quad
A = 45^\circ.
$
پاسخ نهایی:
ب)
$45^\circ$
گسترش و نکات تکمیلی
- همین روش برای معادلات مشابه مانند
$AB^2 + CH^2 = 2CA^2$
یا
$BC^2 + AH^2 = 2AB^2$
به ترتیب
$angle B=45^\circ $
و
$angle C=45^\circ$
میانجامد.
- فاصلههای
$AH,\,BH,\,CH$
همگی از جنس
$2R\cos(\cdot)$
هستند و هر ترکیبی از مجذور ضلع و مربعات این فواصل میتواند منجر به روابط مثلثاتی جالبی شود.
