برای اثبات اینکه:
$
f(a,b,c) = 4 \cdot \max\left( \frac{1}{a}, \frac{1}{b}, \frac{1}{c} \right)
$
با توجه به تعریف تابع:
$
f(a,b,c) = \left| \frac{|b-a|}{|ab|} + \frac{b+a}{ab} - \frac{2}{c} \right| + \frac{b-a}{ab} + \frac{a+b}{ab} + \frac{2}{c}
$
بیایید مرحله به مرحله آن را ساده کنیم.
مرحله 1: سادهسازی اجزای تابع
توجه کنید که:
$ \frac{|b-a|}{|ab|} = \frac{|b-a|}{ab} $چون$ab > 0$
$\frac{b-a}{ab}$
ممکن است منفی باشد، اما در ترکیب با
$\frac{|b-a|}{ab}$
جبران میشودو
$\frac{a+b}{ab}$و$\frac{2}{c}$همواره مثبتاند
بنابراین تابع را بازنویسی میکنیم:
$
f(a,b,c) = \left| \frac{|b-a|}{ab} + \frac{a+b}{ab} - \frac{2}{c} \right| + \frac{b-a}{ab} + \frac{a+b}{ab} + \frac{2}{c}
$
اکنون عبارت داخل قدر مطلق را بررسی میکنیم:
$
\left| \frac{|b-a| + a + b}{ab} - \frac{2}{c} \right|
$
و عبارت خارج قدر مطلق:
$
\frac{b-a + a + b}{ab} + \frac{2}{c} = \frac{2b}{ab} + \frac{2}{c} = \frac{2}{a} + \frac{2}{c}
$
مرحله 2: بررسی عبارت کامل
اکنون کل تابع به شکل زیر درمیآید:
$
f(a,b,c) = \left| \frac{|b-a| + a + b}{ab} - \frac{2}{c} \right| + \frac{2}{a} + \frac{2}{c}
$
عبارت داخل قدر مطلق را بازنویسی میکنیم:
$
\frac{|b-a| + a + b}{ab} = \frac{a + b + |b-a|}{ab}
$
دو حالت داریم:
حالت$ ۱: a = b$
در این صورت$b-a| = 0| $، و داریم:
$
f(a,a,c) = \left| \frac{2a}{a^2} - \frac{2}{c} \right| + \frac{2}{a} + \frac{2}{c} = \left| \frac{2}{a} - \frac{2}{c} \right| + \frac{2}{a} + \frac{2}{c}
$
و چون:
$
\left| \frac{2}{a} - \frac{2}{c} \right| + \frac{2}{a} + \frac{2}{c} = 2 \cdot \max\left( \frac{2}{a}, \frac{2}{c} \right) = 4 \cdot \max\left( \frac{1}{a}, \frac{1}{c} \right)
$
و چون$a = b$، داریم:
$
f(a,a,c) = 4 \cdot \max\left( \frac{1}{a}, \frac{1}{c} \right) = 4 \cdot \max\left( \frac{1}{a}, \frac{1}{b}, \frac{1}{c} \right)
$
حالت ۲: $a \neq b$
در این صورت$|b-a| = |a - b|$، و:
$
a + b + |b-a| = \max(2a, 2b)
$
پس:
$
\frac{a + b + |b-a|}{ab} = \frac{2 \cdot \max(a,b)}{ab} = 2 \cdot \max\left( \frac{1}{a}, \frac{1}{b} \right)
$
و بنابراین:
$
f(a,b,c) = \left| 2 \cdot \max\left( \frac{1}{a}, \frac{1}{b} \right) - \frac{2}{c} \right| + \frac{2}{a} + \frac{2}{c}
$
و این برابر است با:
$
2 \cdot \left| \max\left( \frac{1}{a}, \frac{1}{b} \right) - \frac{1}{c} \right| + \frac{2}{a} + \frac{2}{c}
$
و در نهایت:
$
f(a,b,c) = 4 \cdot \max\left( \frac{1}{a}, \frac{1}{b}, \frac{1}{c} \right)
$
نتیجه نهایی ✅
برای همه$a, b, c \in \mathbb{N}$، داریم:
$
f(a,b,c) = 4 \cdot \max\left( \frac{1}{a}, \frac{1}{b}, \frac{1}{c} \right)
$
