ابتدا دو عبارت رو در هم ضرب میکنیم . و سپس از عامل های مشترک فاکتور میگیریم :
$$\displaystyle \left(\frac{a}{b-c}+\frac{b}{c-a}+\frac{c}{a-b}\right)\cdot \left(\frac{b-c}{a}+\frac{c-a}{b}+\frac{a-b}{c}\right) = \ 3+\frac{b-c}{a}\left(\frac{b}{c-a}+\frac{c}{a-b}\right)+\frac{c-a}{b}\left(\frac{a}{b-c}+\frac{c}{a-b}\right)+\frac{a-b}{c}\left(\frac{a}{b-c}+\frac{b}{c-a}\right)$$
حال هر عبارت رو درنظر بگیرید :
$$\dfrac{b-c}{a}\left(\dfrac{b}{c-a}+\dfrac{c}{a-b}\right)=\dfrac{b-c}{a}\left(\dfrac{b(a-b)+c(c-a)}{(a-b)(c-a)}\right)$$
و سپس از فرض $a+b+c=0$ کمک میگیریم :
$$\dfrac{b-c}{a}\left(\dfrac{b}{c-a}+\dfrac{c}{a-b}\right)=\dfrac{2(b-c)^3}{(a-b)(b-c)(c-a)}$$
و همینطور به طور مشابه برای عبارت های دیگر :
$$\dfrac{c-a}{b}\left(\dfrac{b}{c-a}+\dfrac{c}{a-b}\right)=\dfrac{2(c-a)^3}{(a-b)(b-c)(c-a)}$$
$$\dfrac{a-b}{a}\left(\dfrac{b}{c-a}+\dfrac{c}{a-b}\right)=\dfrac{2(a-b)^3}{(a-b)(b-c)(c-a)}$$
حال تعریف میکنیم :
$$x=b-c \ \ , \ \ y=c-a \ \ , \ \ z=a-b$$
جایگذاری میکنیم :
$$\displaystyle \left(\frac{a}{b-c}+\frac{b}{c-a}+\frac{c}{a-b}\right)\cdot \left(\frac{b-c}{a}+\frac{c-a}{b}+\frac{a-b}{c}\right)=\\ 3+\dfrac{2x^3}{xyz}+\dfrac{2y^3}{xyz}+\dfrac{2z^3}{xyz}=3+\dfrac{2}{xyz}(x^3+y^3+z^3)$$
حال از اتحاد زیر استفاده میکنیم :
$$ x^3+y^3+z^3-3xyz=(x+y+z)(x^2+y^2+z^2-xy-xz-yz)$$
وهمینطور که از فرض میدانیم :$$x+y+z=0$$
بنابراین اتحاد به صورت زیر حاصل میشود :
$$ x^3+y^3+z^3=3xyz$$
در نتیجه حاصل خواهد بود :
$$3+\dfrac{2}{xyz}(x^3+y^3+z^3)=3+\dfrac{2}{xyz}(3xyz)=9$$
