Question

یک چهار ضلعی با اضلاع $a,b,c,d$ و مساحت $S$ داریم ثابت کنید:

$S \leq \frac{a+c}{2}. \frac{b+d}{2} $

المپیاد ریاضی جهانی ($IMO$)

Answer 1

برای هر چهار ضلعی دلخواه اگر $p= \frac{1}{2} (a+b+c+d)$ آنگاه $Bretschneider's formula$ به ما می‌گوید:

$$S= \sqrt{(p-a)(p-b)(p-c)(p-d)-abcd.cos^2 (\frac{A+C}{2})}$$

$$= \sqrt{(p-a)(p-b)(p-c)(p-d)-abcd.cos^2 (\frac{B+D}{2})}$$

$$ \Rightarrow S \leq \sqrt{(p-a)(p-b)(p-c)(p-d)} \leq \frac{(p-a)+(p-c)}{2}.\frac{(p-b)(p-d)}{2} $$

$$= \frac{2p-a-c}{2}. \frac{2p-c-d}{2}= \frac{a+c}{2}.\frac{b+b}{2}$$

واضح است تساوی زمانی اتفاق می‌افتد که داشته باشیم:

$$ \frac{\angle A+ \angle C}{2}=\frac{ \pi }{2}$$

در اینجا این یعنی زاویه‌های روبرو مکمل‌اند.

$ \Box $

Answer 2

چهارضلعی را با یکی از قطرها (مثلاً AC) به دو مثلث جدا می کنه راس بین a و b را B و بین c و d را Dمی نامیم در این صورت دازیم $$S= \frac{1}{2} absinB+ \frac{1}{2} cdsinD \leq \frac{1}{2} (ab+cd)\qquad(1) $$ بطور متشابه برای قطر بعدی داریم $$S \leq\frac{1}{2} (ac+bd) \qquad(2) $$ از جمع دو رابطه (1)و(2) داریم: $$S\leq \frac{1}{4} (ab+cd+ac+bd)= \frac{(a+c) (b+d) } {4} \qquad(3) $$ واضح که رابطه (3) تساوی برقرار است که رابطه های (1)و(2) به تساوی تبدیل شه یعنی تمام زاویه ها قائمه باشه بعبارتی چهار ضلعی مستطیل باشه.