ریشههای $2n+1$ ام واحد را در نظر بگیرید:
$$z_k=e^{ \frac{2k\pi}{2n+1} },k=0,1,2,...2n$$
این ریشهها بجز $z_0=1$ حقیقی است بقیه مختلط و دوبدو مزدوج اند.(چرا؟):
$$ \Rightarrow z_k=cos{\frac{2k\pi}{2n+1}}+isin{\frac{2k\pi}{2n+1}}$$
$$\Rightarrow (z_k-cos{\frac{2k\pi}{2n+1}})^2=i^2.sin^2{\frac{2k\pi}{2n+1}}=-sin^2{\frac{2k\pi}{2n+1}}$$
$$ \Rightarrow z_k^2-2z_kcos{\frac{2k\pi}{2n+1}}+cos^2{\frac{2k\pi}{2n+1}}+sin^2{\frac{2k\pi}{2n+1}}=0$$
$$ \Rightarrow z_k^2-2z_kcos{\frac{2k\pi}{2n+1}}+1=0$$
با همان استدلال داریم:
$$ \Rightarrow \overline{z_k}^2-2 \overline{z_k}cos{\frac{2k\pi}{2n+1}}+1=0$$
از این استدلالها نتیجه میگیریم که:
$$ \frac{z^{2n+1}-1}{z-1}=z^{2n}+z^{2n-1}+...+z+1= \prod_{k=1}^n( z^2-2zcos{\frac{2k\pi}{2n+1}}+1)$$
حالا اگر به جای $z$ یک بار $1$ و یک بار $-1$ قرار دهیم داریم:
$$2^{2n}sin^2\frac{\pi}{2n+1}.sin^2\frac{2\pi}{2n+1}...sin^2\frac{n\pi}{2n+1}=2n+1$$
$$,2^{2n}cos^2\frac{\pi}{2n+1}.cos^2\frac{2\pi}{2n+1}...cos^2\frac{n\pi}{2n+1}=1$$
$$ \Rightarrow tan\frac{\pi}{2n+1}.tan\frac{2\pi}{2n+1}...tan\frac{n\pi}{2n+1}= \sqrt{2n+1}$$
$ \Box $
