Question

ظرفیت یک آسانسور $20$ کودک هم وزن یا $12$ نوجوان هم وزن یا $8$ بزرگسال هم وزن است. اگر$7$ کودک هم وزن و $4$ نوجوان هم وزن داخل آیانسور باشند حد اکثر چند بزرگسال در آسانسور جا می شوند؟

Comments

· آسانسور گنجایش  20  کودک هم‌وزن را دارد.
  پس اگر وزن یک کودک را  c  بگیریم، ظرفیت کل آسانسور است:

20c

· همین آسانسور گنجایش  12  نوجوان هم‌وزن را دارد.
  پس اگر وزن یک نوجوان  t  باشد:

$12t = 20c \quad \Rightarrow \quad t = \frac{20}{12}c = \frac{5}{3}c$

· همین آسانسور گنجایش  8  بزرگسال هم‌وزن را دارد.
  پس اگر وزن یک بزرگسال  a  باشد:

$8a = 20c \quad \Rightarrow \quad a = \frac{20}{8}c = \frac{5}{2}c$

---

2. محاسبه وزن فعلی سرنشینان

در آسانسور الان:

·  7  کودک: وزن  7c
·  4  نوجوان: وزن
$  4 \times \frac{5}{3}c = \frac{20}{3}c$

وزن کل فعلی:

$7c + \frac{20}{3}c = \frac{21}{3}c + \frac{20}{3}c = \frac{41}{3}c$

---

3. ظرفیت باقی‌مانده

ظرفیت کل  20c  است.
ظرفیت باقی‌مانده:

$20c - \frac{41}{3}c = \frac{60}{3}c - \frac{41}{3}c = \frac{19}{3}c$

---

4. تعداد بزرگسالانی که جای می‌شوند

وزن هر بزرگسال
 $ a = \frac{5}{2}c  $
است.

تعداد  n  بزرگسال:

$n \times \frac{5}{2}c \le \frac{19}{3}c$

$n \le \frac{\frac{19}{3}c}{\frac{5}{2}c} = \frac{19}{3} \times \frac{2}{5} = \frac{38}{15} \approx 2.533\ldots$

بزرگترین عدد صحیح ممکن:  n = 2

---

5. بررسی وزن دقیق با  n = 2

وزن فعلی
$  \frac{41}{3}c $
وزن ۲ بزرگسال
$ 2 \times \frac{5}{2}c = 5c = \frac{15}{3}c $

وزن کل:

$\frac{41}{3}c + \frac{15}{3}c = \frac{56}{3}c \approx 18.666\ldots c$

که از  20c  کمتر است.

اگر  n = 3 :

$3 \times \frac{5}{2}c = \frac{15}{2}c = 7.5c$

وزن کل:

$\frac{41}{3}c + 7.5c = \frac{41}{3}c + \frac{15}{2}c$

مخرج مشترک ۶:

$\frac{82}{6}c + \frac{45}{6}c = \frac{127}{6}c \approx 21.166\ldots c$

که از  20c  بیشتر می‌شود، پس امکان‌پذیر نیست.

---

پاسخ نهایی:

$\boxed{2}$

---

@mansour لطفاً اینو به عنوان پاسخ ثبت کنید

Answer 1

· آسانسور گنجایش 20 کودک هم‌وزن را دارد. پس اگر وزن یک کودک را c بگیریم، ظرفیت کل آسانسور است:

20c

· همین آسانسور گنجایش 12 نوجوان هم‌وزن را دارد. پس اگر وزن یک نوجوان t باشد:

$12t = 20c \quad \Rightarrow \quad t = \frac{20}{12}c = \frac{5}{3}c$

· همین آسانسور گنجایش 8 بزرگسال هم‌وزن را دارد. پس اگر وزن یک بزرگسال a باشد:

$8a = 20c \quad \Rightarrow \quad a = \frac{20}{8}c = \frac{5}{2}c$

---

2. محاسبه وزن فعلی سرنشینان

در آسانسور الان:

· 7 کودک: وزن 7c · 4 نوجوان: وزن $ 4 \times \frac{5}{3}c = \frac{20}{3}c$

وزن کل فعلی:

$7c + \frac{20}{3}c = \frac{21}{3}c + \frac{20}{3}c = \frac{41}{3}c$

---

3. ظرفیت باقی‌مانده

ظرفیت کل 20c است. ظرفیت باقی‌مانده:

$20c - \frac{41}{3}c = \frac{60}{3}c - \frac{41}{3}c = \frac{19}{3}c$

---

4. تعداد بزرگسالانی که جای می‌شوند

وزن هر بزرگسال $ a = \frac{5}{2}c $ است.

تعداد n بزرگسال:

$n \times \frac{5}{2}c \le \frac{19}{3}c$

$n \le \frac{\frac{19}{3}c}{\frac{5}{2}c} = \frac{19}{3} \times \frac{2}{5} = \frac{38}{15} \approx 2.533\ldots$

بزرگترین عدد صحیح ممکن: n = 2

---

5. بررسی وزن دقیق با n = 2

وزن فعلی $ \frac{41}{3}c $ وزن ۲ بزرگسال $ 2 \times \frac{5}{2}c = 5c = \frac{15}{3}c $

وزن کل:

$\frac{41}{3}c + \frac{15}{3}c = \frac{56}{3}c \approx 18.666\ldots c$

که از 20c کمتر است.

اگر n = 3 :

$3 \times \frac{5}{2}c = \frac{15}{2}c = 7.5c$

وزن کل:

$\frac{41}{3}c + 7.5c = \frac{41}{3}c + \frac{15}{2}c$

مخرج مشترک ۶:

$\frac{82}{6}c + \frac{45}{6}c = \frac{127}{6}c \approx 21.166\ldots c$

که از 20c بیشتر می‌شود، پس امکان‌پذیر نیست.

---

پاسخ نهایی:

$\boxed{2}$

Answer 2

ظرفیت آسانسور را $a$ بگیرید.وزن کودک، نوجوان و بزرگسال را به ترتیب با $x$، $y$ و $z$ نشاند دهید.مجهول مسأله را $b$ بگیرید.از این قرارداها داریم:

$$20x \leq a,12y \leq a,8z \leq a$$

$$,7x+4y+bz \leq a $$

$$ \Rightarrow \frac{7a}{20}+ \frac{4a}{12}+ \frac{ba}{8} \leq a \Rightarrow \frac{7}{20}+ \frac{4}{12}+ \frac{b}{8} \leq 1$$

$$ \Rightarrow \frac{b}{8} \leq 1- \frac{7}{20}- \frac{1}{3}=1- \frac{41}{60}= \frac{19}{60}$$

$$ \Rightarrow b \leq 8 \times \frac{19}{60}= \frac{38}{15}=2+ \frac{8}{15}<3$$

پس $b$ حداکثر $2$ می‌باشد.

$\Box$

Comments

@قاسم شبرنگ اگر توضیح شفاهی هم همراه کنید خیلی عالی هست. بهتون امتیاز دادم ولی توضیح هم لطف کنید