فرض کنید $ \alpha \in G(I) $ آنگاه وجود دارند $i,j $ به طوریکه $ \alpha = x_{i} x_{j} $ پس $ T=\{i,j\} $ بدون کاستن از کلیت میتوان فرض کرد که $i < j $ است.
به ازای هر $ l \in T $ داریم $i \in T \setminus \{l\} $یا $j \in T \setminus \{l\} $ یعنی $X_{T \setminus \{l\}} =( x_{i},... ) $ یا $ X_{T \setminus \{l\}} =( x_{j} ,...) $ پس در هر صورت
$ \alpha \in X_{T \setminus \{l\}} $ پس $ \alpha \in \bigcap_{l \in T} X_{T \setminus \{l\}} $
برعکس:
روش اول:
فرض کنید داشته باشیم $T=\{ i_{1} ,i_{2},... ,i_{k} \} $ آنگاه
$$\bigcap_{l \in T} X_{T \setminus \{l\}} =$$
$$( \widehat{ x_{i_{1}} }, x_{i_{2}} ,... ,x_{i_{k}} ) \bigcap ( x_{i_{1}} , \widehat{ x_{i_{2}} }, ... ,x_{i_{k}} ) \bigcap ... ( x_{i_{1}} , , ... \widehat{ x_{i_{k}} } ) $$
غیر از عبارت اول در بقیه عنصر $ x_{i_{1}} $ را داریم لذا تمام جملات غیر از جمله ی اول را بصورت
$)$بقیه جملات$(x_{i_{1}} ,$ لذا در کل عبارت بصورت
$)$بقیه جملات$ ( \widehat{ x_{i_{1}} }, x_{i_{2}} ,... ,x_{i_{k}} ) \bigcap (x_{i_{1}} ,$
نوشت اگر همین روند را ادامه بدهیم حکم ثابت می شود.
$)=$بقیه جملات$( x_{i_{1}}x_{i_{2}} ,... ,x_{i_{1}}x_{i_{k}} ) \bigcap$
روش دوم ثابت می کنیم اگر$ \alpha \in G( \bigcap_{l \in T} X_{T \setminus \{l\}} ) $ بصورت $ x_{i} x_{j} $ است.
اولا دقت کنید که هر$X_{T \setminus \{l\}}$ ایده آلی تکجمله ای است و می دانیم اشتراک متناهی ار تک جمله ای ها تک جمله ای است لذا $ \bigcap_{l \in T} X_{T \setminus \{l\}} $ تک جمله ای است لذا می توان $ \alpha $ را تک جمله ای گرفت.
از آنجایی که به ازای هر $X_{T \setminus \{l\}}$داریم
$ \alpha \in X_{T \setminus \{l\}}$ پس وجود دارد $i \in T$ به طوریکه
$ x_{i} \mid \alpha $ و چون
$ X_{T \setminus \{{i}\}} $ یکی از عناصر در اشتراک است و
$ \alpha \in X_{T \setminus \{i\}}$ لذا $i \neq j \in T$ وجود دارد که $ x_{i} \mid \alpha $
اگر نشان دهیم $x_{i} x_{j} \in \bigcap_{l \in T} X_{T \setminus \{l\}} $ از آنجایی که $x_{i} x_{j} \mid \alpha $ و $ \alpha \in G( \bigcap_{l \in T} X_{T \setminus \{l\}} ) $ نتیجه می شود که $ \alpha =x_{i} x_{j}$
اما اینکه $x_{i} x_{j} \in \bigcap_{l \in T} X_{T \setminus \{l\}} $ اولین چیزی بود که در جواب این سوال اثبات کردیم و اثبات کامل شد.
