در سایه نبوغ و کوشش اویلر و نپر و ... تساوی زیبای زیر را داریم:
$$e^x=\sum_{n=0}^ \infty \frac{x^n}{n!}$$
حالا توجه کنید که در دستگاه مختلط ریشه های سوم $1$ عبارتند از $1, \omega , \omega ^2$ که در آن:
$$\omega= \frac{a}{b} (e^{i \frac{2\pi}{3}})= \frac{1}{2}+i \frac{ \sqrt{3}}{2}, \omega ^2=-\frac{1}{2}-i\frac{ \sqrt{3}}{2}$$
حالا واضح است که:
$$e^x+e^{ \omega x}+e^{ \omega ^2x}=\sum_{n=0}^ \infty \frac{x^n}{n!}+\sum_{n=0}^ \infty \frac{( \omega x)^n}{n!}+\sum_{n=0}^ \infty \frac{( \omega ^2x)^n}{n!}=\sum_{n=0}^ \infty \frac{(1+\omega^n+\omega ^{2n})x^n}{n!}$$
از طرفی دیگر می توان بررسی کرد که:
$$1+\omega^n+\omega ^{2n}=\begin{cases}3 & n= 3k\\0 & n\neq 3k\end{cases} $$
نتیجه نهایی از استدلال بالا:
$$e^x+e^{ \omega x}+e^{ \omega ^2x}=\sum_{n=0,3 \mid n}^ \infty \frac{x^n}{n!}=3\sum_{n=0}^ \infty \frac{x^{3n}}{(3n)!}$$
میماند قرا دهیم $x=1$ تا نتیجه گیریم که:
$$\sum_{n=0}^ \infty \frac{1}{(3n)!}= \frac{1}{3} (e+e^{ \omega}+e^{ \omega^2})= \frac{1}{3}(e+2e^{-\frac{1}{2}}cos(\frac{\sqrt{3}}{2}))$$
$\Box$
