ثابت کنید $f_n\to f$ به طور یکنواخت اگر وتنها اگر $\sup|f_n(x)-f(x)|\to 0$

Question

فرض کنید $\lim_{n\to\infty}f_n(x)=f(x)$ قرار دهید : $M_n:=\sup_{x\in E}|f_n(x)-f(x)|$ در این صورت $f_n \to f$ به طور یکنواخت بر$E$ اگر وتنها اگر $\lim_{n\to\infty}M_n=0$

Comments

باید همین چیزایی که نوشتید رو داخل دو علامت دلار $ بذارید تا به ریاضی ترجمه بشه.
یا اینکه از سوالتون عکس بگیرید و بفرستید.

Answer 1

اگر $f_n\overset{u}\to f$ در $E$ در اینصورت بنابرتعریف: $$\forall \epsilon> 0\exists N(\epsilon)\in\mathbb N:\forall x\in E(n\geq N\Rightarrow |f_n(x)-f(x)|\leq\frac\epsilon 2$$

در اینصورت برای $n\geq N(\epsilon)$ $$|M_n-0|=M_n\leq \frac \epsilon2< \epsilon$$ بنابراین $M_n\to 0$

برعکس: فرض کنید $M_n\to 0$ وقتی $n\to\infty$ در اینصورت:

$\forall\epsilon> 0\exists N(\epsilon)\in\mathbb N:(n\geq N(\epsilon)\Rightarrow |M_n-0|< \epsilon $

در اینصورت برای هر $x\in E$ و $n\geq N(\epsilon)$ داریم: $$|f_n(x)-f(x)|\leq m_n=\sup_{x\in E}|f_n(x)-f(x)|\}< \epsilon$$ و این یعنی $f_n\to f$ به طور یکنواخت روی $E$ .