پاسخ های طبیعی برابریِ $a^{a^a}=b^b$ را بیابید.

Question

همهٔ پاسخ‌های طبیعی معادلهٔ زیر را بیابید.

$$a^{a^a}=b^b$$

ویرایشگر: پرسش‌کننده متن بیشتری وارد نکرده‌است.

Answer 1

با استفاده از نرم افزار اندروید Desmos و نمودار رسم شده، دو حالت ممکن است رخ بدهد.(به جای a قرار می‌دهیم x و به جای b قرار می‌دهیم y) . پاسخ سوال را در دو حالت می‌دهیم. حالت اول اینکه فرض می‌کنیم منظکر شما از ${a^{a^a}}$ این بوده است : $(a^a)^a$ در این حالت طبق نمودار رسم شده زیر:

جواب‌ها عبارتند از : $\lbrace(0,0),(0,1),(1,0),(1,1)\rbrace$

در صورتی که منظور شما از ${a^{a^a}}$ به همین صورت که نوشته‌اید بوده است، با توجه به نمودار زیر:

تنها جواب قابل قبول، $\lbrace(1,0),(1,1)\rbrace$ می‌باشد.

Comments

کل نمودار را که نمیتوان دید چون نمودار تا بینهایت ادامه داره ظاهرا. پس به چه دلیل میگویید فقط یک جواب دارد

---

@SinaMoradi توجه کنید که در صورت پرسش یک معادله و دو مجهول دارید که احتمالا یکی را پارامتر در نظر گرفته‌اند که در اینصورت با اینکه یک معادله-یک مجهول خواهد شد ولی پارامتر همانطور که از اسمش برمی‌آید می‌تواند تغییر کند یعنی اگر $b$ را پارامتر گرفته‌اید یک بار می‌تواند ۱ باشد یک بار می‌تواند ۲ باشد و زمانی که یک معادلهٔ پارامتری را حل می‌کنید باید پاسخ پارامتری بدهید. برای نمونه $ax-b=0$ زمانی‌که $a,b$ پارامتر و $x$ مجهول است پاسخش اینگونه است که اگر $a=0$ آنگاه فقط برای $b=0$ معادله جواب دارد که هر عددی پاسخ است و در غیراینصورت جواب ندارد. اگر $a\neq 0$ آنگاه معادله پاسخ یکتا دارد یعنی $x=\frac{a}{b}$. اکنون پارامترهای $a,b$ را هر چه بدهید، این پاسخ پارامتری به شما $x$ را خواهد داد نه اینکه فقط برای یک مقدارِ خاص از $a,b$ پرسش را پاسخ بدهیم و پاسخ را به عنوان پاسخ حالت پارامتری معرفی کنیم. شما از روی نمودار نقطهٔ صادق در معادله برای $b=0$ را برداشته‌اید و به عنوان پاسخ معادلهٔ پارامتری داده‌اید. بعلاوه اگر $0^0$ را ۱ بگیرید آنگاه پرسش مطرح می‌شود که $0^{0^0}$ را آیا باید $0^{(0^0)}$ ببینیم یا $(0^0)^0$. اگر حالت دوم را برداریم آنگاه $a=0$ نیز برای حالت $b=0$ می‌تواند یک پاسخ دیگر باشد.

---

@mdgi من با توجه به این که فقط در یک نقطه$(x=1)$ محور طول ها را قطع کرده، گفتم فقط یک جواب دارد. اگر اشتباه گفتم به این دلیل است که سواد من در حد دبیرستان است اگر نکته‌ای هست خوشحال میشوم یاد بگیرم. از شما ممنونم.

---

@AmirHosein از شما ممنونم. درست میفرمائید. حداقل باید در متن پاسخ بنویسم که برای فلان حالت خاص جواب این می‌شود، نه در حالت کلی که خودتان عرض کردید. سپاس

---

نمی گویم اشتباه است. شاید هم درست باشد. فقط خواستم دلیلش را بدانم

---

@SinaMoradi کار قشنگی کردید. چهار/یک پاسخ طبیعی بدست آوردید (با دو قرارداد ترتیب‌گذاری در توانی که انجام دادید). گام بعدی که می‌توانید بعدها به آن فکر کنید این است که «آیا پاسخ طبیعی دیگری وجود دارد؟» چون رسم شکل شما در ناحیهٔ متناهی‌ای از صفحهٔ نامتناهی کشیده شده‌است و چیزی که با رسم بدون استفاده از گزاره‌ای دیگر می‌توان دید اطلاعی از آنچه بیرون از کادر تصویر هست نمی‌دهد. برای نمونه شاخه‌ای از خم‌تان که از بالای صحنه بیرون می‌رود ممکن است برای $x$ و $y$ بزرگتری طبیعی شوند.

---

@AmirHosein ابتدا عذرخواهی می‌کنم چون ایرادی در جواب من وجود داشت مربوط به نمودار حالت دوم که ویرایش کردم(نمودار دوم دو جواب طبیعی می‌دهد). به راستی حرف جالبی زدید! آیا روشی جبری وجود دارد که بتوان فهمید آیا پاسخ طبیعی دیگری وجود دارد یا نه؟! از شما بابت راهنمایی های مفیدتان ممنونم. من خیلی چیزها در همین مدت کم از شما یاد گرفته‌ام. پاینده باشید.